2013-2014学年山东省青岛市高三统一质量检测考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若集合，则（   ）

A．                    B．或

C．                     D．

2. 难度：简单

已知向量,,,则“”是“”的（   ）

A．充要条件               B．充分不必要条件

C．必要不充分条件         D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（   ）

A．        B．      C．      D．

4. 难度：简单

双曲线的渐近线方程为（   ）

A．    B．    C．    D．

5. 难度：中等

执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（   ）

A．   B．        C．    D．

6. 难度：中等

函数图象的一条对称轴方程可以为（   ）

A．   B．   C．    D．

7. 难度：简单

过点作圆的两条切线，切点分别为和，则弦长（   ）

A．　　　 B．　　　C．　　　D．

8. 难度：简单

已知实数满足约束条件，则的最小值是（   ）

A．       B．     C．       D．1

9. 难度：简单

由曲线，直线所围成封闭的平面图形的面积为  （   ）

A．      B．    C．     D．

10. 难度：中等

在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：

（1）对任意，；

（2）对任意，．

关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．

其中所有正确说法的个数为（   ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

11. 难度：简单

已知（），其中为虚数单位，则          .

12. 难度：简单

已知随机变量服从正态分布，若，为常数,则          .

13. 难度：简单

二项式展开式中的常数项为             .

14. 难度：简单

如图所示是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为          .

15. 难度：中等

已知函数 ，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为                 .

三、解答题

16. 难度：中等

在中, 分别是角的对边，且.

（1）求的大小; （2）若，,求的面积.

17. 难度：中等

年月“神舟 ”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为、、、，并且各个环节的直播收看互不影响．

（1）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这名同学至少有名同学收看发射直播的概率;

（2）若用表示该班某一位同学收看的环节数,求的分布列与期望．

18. 难度：困难

如图几何体中，四边形为矩形，，，，，.

（1）若为的中点，证明：面；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：压轴

已知是等差数列，首项，前项和为.令,的前项和.数列是公比为的等比数列，前项和为，且，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）证明：.

20. 难度：困难

已知椭圆的中心为原点，离心率，其一个焦点在抛物线的准线上，若抛物线与直线相切．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为．若点满足：，其中是上的点，直线与的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

21. 难度：困难

已知函数，函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．

（1）求的极值；

（2）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（3）当时，对于，求证：．