2013-2014学年广东湛江市普通高考测试卷（一）理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的共轭复数是(    )

A．              B．              C．              D．

2. 难度：中等

设函数的定义域为,值域为,则=（    ）

A．           B．            C．              D．

3. 难度：中等

若等差数列和等比数列满足则(    )

A．5                 B．16                 C．80                 D．160

4. 难度：中等

“”是“” 的(    )

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件          D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

如下图所示的几何体，其俯视图正确的是(      )

6. 难度：中等

若关于、的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是(    )

A．         B．           C．            D．或

7. 难度：困难

若函数的导函数在区间上有零点，则在下列区间单调递增的是(    )

A．           B．            C．              D．

8. 难度：中等

定义平面向量的正弦积为，（其中为、的夹角），已知△ABC中，，则此三角形一定是(    )

A．等腰三角形        B． 直角三角形       C．  锐角三角形        D． 钝角三角形

二、填空题

9. 难度：简单

展开式的常数项的值为_______________.

10. 难度：简单

点到双曲线的渐近线的距离为______________.

11. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的结果是5，则判断框内的取值范围是________________.

12. 难度：中等

若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为            ．

13. 难度：中等

若函数，分别是R上的奇函数、偶函数，且满足，则比较、、的大小结果是               （从小到大排列）．

14. 难度：中等

已知曲线的参数方程是．（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则在曲线上到直线的距离为的点有_____个.

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数． 的部分图象如图所示，其中点是图象的一个最高点.

（1）求函数的解析式；

（2）已知且，求．

16. 难度：中等

在某次数学考试中，抽查了1000名学生的成绩，得到频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.

（1）下表是这次抽查成绩的频数分布表，试求正整数、的值；

区间	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100]
人数	50	a	350	300	b

（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求抽取成绩为优秀的学生人数；

（3）在根据（2）抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记其中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望（即均值）.

17. 难度：困难

如图，三棱柱中，△ABC是正三角形，，平面平面，.

（1）证明：；

（2）证明：求二面角的余弦值；

（3）设点是平面内的动点，求的最小值．

18. 难度：简单

已知正数数列中，，前项和为，对任意，、、成等差数列.

（1）求和；

（2）设，数列的前项和为，当时，证明：.

19. 难度：困难

已知顶点为原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合与在第一和第四象限的交点分别为.

（1）若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程；

（2）若，求椭圆的离心率；

（3）点为椭圆上的任一点，若直线、分别与轴交于点和，证明：．

20. 难度：压轴

已知．

（1）若存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（2）若,求证：当时，恒成立；

（3）设，证明：.