2013-2014学年广东省中山市高三第一学期期末考试文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设复数，，则在复平面内对应的点在(      )

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

2. 难度：简单

设全集是实数集,,则（    ）

A．    B．

C．     D．

3. 难度：中等

已知平面向量，，若∥，则等于(      )

A．   B．   C．   D．

4. 难度：简单

已知数列为等差数列，若，，则(      )

A．36    B．42    C．45    D．63

5. 难度：简单

在某次测量中得到的样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据,则,两样本的下列数字特征对应相同的是（　 ）

A．众数    B．平均数   C．中位数   D．标准差

6. 难度：中等

如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为（    ）

A.   B．

C．   D．

7. 难度：中等

如图，定义某种运算，运算原理如右图所示，则式子的值为（      ）

A．11     B．13

C．8      D．4

8. 难度：中等

若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积为（     ）

A．    B．   C．   D．6

9. 难度：困难

已知函数满足，且时，，则当时，与的图象的交点个数为(       )

A．11    B．10    C．9      D．8

10. 难度：困难

对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中不恒成立的是（     ）

⑴     ⑵

⑶    ⑷

A．⑴、⑶        B．⑵、⑷

C．⑴、⑵、⑶    D．⑴、⑵、⑶、⑷

二、填空题

11. 难度：简单

                .

12. 难度：简单

已知函数，则           .

13. 难度：中等

若变量满足线性约束条件，则的最大值为________．

14. 难度：中等

已知函数有3个零点，则实数的取值范围是           .

三、解答题

15. 难度：中等

设平面向量，，函数.

（Ⅰ）求函数的值域和函数的单调递增区间;

（Ⅱ）当,且时,求的值.

16. 难度：中等

某学校餐厅新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：

              满意              一般              不满意

A套餐              50%              25%              25%

B套餐              80%              0              20%

C套餐              50%              50%              0

D套餐              40%              20%              40%

（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；

（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率.

17. 难度：困难

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于,四边形ABCD是正方形.

（Ⅰ）求证；

（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积.

18. 难度：困难

数列{}的前n项和为，．

（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）若，．求不超过的最大整数的值.

19. 难度：压轴

已知函数.

（Ⅰ）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅱ）设函数，

求证：

20. 难度：压轴

已知函数，，，其中，且.

⑴当时，求函数的最大值；

⑵求函数的单调区间；

⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.