2013-2014学年广东省中山市高三第一学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设复数，，则在复平面内对应的点在(      )

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

2. 难度：简单

设全集是实数集则图中阴影部分所表示的集合是 （    ）

A．  B．   C．   D．

3. 难度：简单

已知平面向量，，若∥，则等于(      )

A．   B．   C．   D．

4. 难度：中等

定义某种运算，运算原理如上图所示，则式子的值为（      ）

A．4     B．8   C．11    D．13

5. 难度：简单

把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （    ）

A．                 B．            C．            D．

6. 难度：困难

下列四个命题中，正确的有

①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；

②命题：“，”的否定：“，”；

③用相关指数来刻画回归效果，若越大，则说明模型的拟合效果越好；

④若，，，则．

A．①③④    B．①④    C．③④    D．②③

7. 难度：困难

对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中不恒成立的是（     ）

⑴   ⑵

⑶  ⑷

A．⑴、⑶         B．⑵、⑷

C．⑴、⑵、⑶     D．⑴、⑵、⑶、⑷

8. 难度：困难

已知函数满足，且时，，则当时，与的图象的交点个数为(       )

A．13    B．12    C．11    D．10

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数，则            .

10. 难度：中等

如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，以此实验数1000据为依据可以估计出该不规则图形的面积为        平方米.（用分数作答）

11. 难度：简单

在二项式的展开式中，含的项的系数是              ．

12. 难度：简单

已知,,则                   .

13. 难度：简单

已知数列为等差数列，若，，则           .

14. 难度：中等

如图,，且，若，（其中），则终点落在阴影部分（含边界）时，的取值范围是                   .

三、解答题

15. 难度：困难

设平面向量，，函数。

（Ⅰ）求函数的值域和函数的单调递增区间;

（Ⅱ）当,且时,求的值.

16. 难度：中等

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．

（I）估计这次测试数学成绩的平均分；

（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望．

17. 难度：困难

数列{}的前n项和为，．

（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）若，数列的前项和，证明：．

18. 难度：困难

已知函数.

（Ⅰ）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅱ）设函数，求证：

19. 难度：压轴

已知函数，（其中为常数）；

（Ⅰ）如果函数和有相同的极值点，求的值；

（Ⅱ）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．