2013-2014学年广东省揭阳市高三学业水平考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

在复平面内，复数对应的点位于（     ）

A.第一象限              B.第二象限             C.第三象限             D.第四象限

2. 难度：简单

已知集合，，则下列结论正确的是（     ）

A.               B.              C.                 D.

3. 难度：简单

“”是“函数为奇函数” 的（      ）

A.充分而不必要条件                                    B.必要而不充分条件

C.充分必要条件                                       D.既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

向量，，则（      ）

A.                  B.                   C.                 D.

5. 难度：中等

若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（     ）

A.                     B.                      C.                     D.

6. 难度：中等

已知约束条件表示面积为的直角三角形区域，则实数的值为（     ）

A.                       B.                       C.                         D.

7. 难度：中等

图中的网格纸是边长为的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（     ）

A.                     B.                        C.                         D.

8. 难度：中等

已知，是定义在集合上的两个函数．对任意的，存在常数，使得，，且．则函数在集合上的最大值为（      ）

A.                     B.                        C.                          D.

二、填空题

9. 难度：简单

的展开式中的系数是      .（用数字作答）

10. 难度：中等

若命题：“对，”是真命题，则的取值范围是        .

11. 难度：中等

设函数，若，则实数     .

12. 难度：中等

图是甲、乙两人在次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为        .

13. 难度：困难

由恒等式：．可得        ；进而还可以算出、的值，并

可归纳猜想得到               .（）

14. 难度：中等

在极坐标中，已知点为方程所表示的曲线上一动点，，则的最小值为             .

15. 难度：简单

如图，已知是圆的直径，是延长线上一点，切圆于，，，则圆的半径长是       .

三、解答题

16. 难度：困难

设数列是公比为正数的等比数列，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足：，求数列的前项和.

17. 难度：简单

根据空气质量指数（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

（数值）
空气质量级别	一级	二级	三级	四级	五级	六级
空气质量类别	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染
空气质量类别颜色	绿色	黄色	橙色	红色	紫色	褐红色

某市年月日—月日，对空气质量指数进行监测，获得数据后得到如图的条形图

（1）估计该城市本月（按天计）空气质量类别为中度污染的概率；

（2）在上述个监测数据中任取个，设为空气质量类别颜色为紫色的天数，求的分布列.

18. 难度：中等

在中，角、、所对应的边为、、.

（1）若，求的值；

（2）若，且的面积，求的值.

19. 难度：困难

如图，已知、、为不在同一直线上的三点，且，.

（1）求证：平面//平面；

（2）若平面，且，，，求证：平面；

（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值.

20. 难度：困难

如图，已知是椭圆的右焦点；圆与轴交于两点，其中是椭圆的左焦点.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设圆与轴的正半轴的交点为，点是点关于轴的对称点，试判断直线与圆的位置关系；

（3）设直线与圆交于另一点，若的面积为，求椭圆的标准方程.

21. 难度：压轴

已知，函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当有两个极值点（设为和）时，求证：.