2013-2014学年江苏南京市、盐城市高三第一次模拟考试理数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，集合，则.

2. 难度：简单

若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数          .

3. 难度：中等

现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为           .

4. 难度：简单

根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为         .

5. 难度：简单

若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组数据的方差        .

6. 难度：简单

在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为                .

7. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若点到直线的距离为，且点在不等式表示的平面区域内，则          .

8. 难度：中等

在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧棱底面，，为的中点，则四面体的体积为           .

9. 难度：简单

设函数，则“为奇函数”是“”的           条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

10. 难度：困难

在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为                  .

11. 难度：简单

在中，，，则的最小值为          .

12. 难度：困难

若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是            .

13. 难度：中等

若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是       .

14. 难度：简单

已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，若对恒成立，则的最小值为         

二、解答题

15. 难度：中等

在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.

（1）若的面积等于，求，；

（2）若，求的面积.

16. 难度：困难

如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

17. 难度：困难

如图，现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为（不小于）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于，绕岛行驶的路宽均不小于.

（1）求的取值范围；（运算中取）

（2）若中间草地的造价为元，四个花坛的造价为元，其余区域的造价为元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

18. 难度：困难

在平面直角坐标系中，已知过点的椭圆：的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，点关于坐标原点的对称点为，直线，分别交椭圆的右准线于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点的坐标为，试求直线的方程；

（3）记，两点的纵坐标分别为，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

19. 难度：困难

已知函数，.

（1）若，则，满足什么条件时，曲线与在处总有相同的切线？

（2）当时，求函数的单调减区间；

（3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.

20. 难度：困难

设等差数列的前项和为，已知，.

（1）求；

（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，.

①当取最小值时，求的通项公式；

②若关于的不等式有解，试求的值.

21. 难度：简单

如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点，若， ，求的长.

22. 难度：简单

已知曲线：，若矩阵对应的变换将曲线变为曲线，求曲线的方程.

23. 难度：中等

在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），若直线与圆相切，求实数的值.

24. 难度：中等

已知，，为正实数，若，求证：.

25. 难度：困难

已知点在抛物线：上.

（1）若的三个顶点都在抛物线上，记三边，，所在直线的斜率分别为，，，求的值；

（2）若四边形的四个顶点都在抛物线上，记四边，，，所在直线的斜率分别为，，，，求的值.

26. 难度：困难

设是给定的正整数，有序数组（）中或.

（1）求满足“对任意的，，都有”的有序数组（）的个数；

（2）若对任意的，，，都有成立，求满足“存在，使得”的有序数组（）的个数.