2013-2014学年江苏苏北四市高三第一次质量检测文科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

设复数为虚数单位,若为实数,则的值为      ．

2. 难度：简单

已知集合，，且，则实数的值是        ．

3. 难度：中等

某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为         ．

4. 难度：简单

在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是      ．

5. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为        ．

6. 难度：中等

右图是一个算法流程图，则输出的值是          ．

7. 难度：简单

函数的定义域为         ．

8. 难度：中等

若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为         ．

9. 难度：中等

在△中，已知，，且的面积为，则边长为      ．

10. 难度：困难

已知函数，则不等式的解集为          ．

11. 难度：简单

已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为           ．

12. 难度：中等

设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为        ．

13. 难度：简单

在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，，若向量与的夹角为，则的值为             .

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值是________.

二、解答题

15. 难度：简单

已知向量，．

(1)若，求的值；

(2)若，，求的值．

16. 难度：困难

如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点．

(1)求证：//平面；

(2)若平面平面，，求证：．

17. 难度：困难

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．

（1）求关于的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？

18. 难度：困难

已知的三个顶点，，，其外接圆为．

(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；

(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．

19. 难度：困难

已知函数（为常数），其图象是曲线．

（1）当时，求函数的单调减区间；

（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；

（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：困难

已知数列满足，，，是数列 的前项和．

(1)若数列为等差数列．

（ⅰ）求数列的通项；

（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和与前项和的大小；

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．