2013-2014学年河北省高三下学期二调考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知是实数集，，则( )

A．         B．          C.           D．

2. 难度：简单

在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于( )

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

3. 难度：简单

=（  ）

A．4    B．2    C．    D．

4. 难度：中等

关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（  ）

①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；

②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；

③调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；

④已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于0.158 7

⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人。

A．2  B．3   C．4    D．5

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S=4（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）,a₁a₂a₃=27,则a₆=（   ）

A.27             B.81               C. 243            D.729

6. 难度：简单

已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（   ）

A.   B.     C.    D.

7. 难度：简单

程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（      ）

A．       B．       C．       D．

8. 难度：中等

设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且 ，, 则的取值范围为（  ）

A.   B.   C.    D.

9. 难度：中等

在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则     （   ）

A．          B．      C．    D．

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，记抛物线与x轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线y＝(k＞0)所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则k的值为（   ）

A.                 B.                C.               D.

11. 难度：中等

如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为 ，若直线AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ）

A. B. C.  D.

12. 难度：简单

已知函数，，若在区间内，函数与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（     ）

A.   B.           C.     D.

二、填空题

13. 难度：简单

设球的半径为时间的函数，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为        .

14. 难度：简单

若的二项展开式中，所有项的二项式系数和为，则该展开式中的常数项为  .

15. 难度：中等

在△ABC中，边角，过作，且，则      ．

16. 难度：困难

椭圆中有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线              上

三、解答题

17. 难度：困难

如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，，分别为，的中点，．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

18. 难度：中等

今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁。私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力。为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁）	[15，25)	[25，35)	[35，45)	[45，55)	[55，65)	[65，75]
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	6	9	6	3	4

（1）完成被调查人员的频率分布直方图；

（2）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：压轴

我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”来庆祝数学学科节的成功举办.其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．

（1）求抛物线方程；

（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时求的大小.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数满足：

①对任意的，，当时，有成立；

②对恒成立.求实数的取值范围.

21. 难度：简单

已知直线：为参数), 曲线  （为参数）.

（1）设与相交于两点,求；

（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

22. 难度：中等

已知函数．

（1）若不等式的解集为，求实数a的值；（5分）

（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．（5分）