2013-2014学年河南省南阳市高三第三次联考（高考模拟）理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设全集是实数集,集合，，则为（   ）

A．  B．   C．   D．

2. 难度：简单

设复数满足（为虚数单位），则的实部是（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

3. 难度：简单

等差数列中，如果，，则数列前9项的和为（  ）

A．297     B．144     C．99     D．66

4. 难度：简单

下列命题中正确命题的个数是（    ）

（1）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；

（2）设回归直线方程中，增加1个单位时，一定增加2个单位；

（3）若为假命题，则均为假命题；

（4）对命题，使得，则，均有；

（5）设随机变量服从正态分布，若，则.

A．2    B．3    C．4    D．5

5. 难度：中等

已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是变长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（    ）

6. 难度：中等

一个算法的程序框图如图，则其输出结果是（    ）

A．0    B.     C.    D.

7. 难度：中等

若函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

8. 难度：简单

已知且，则下面结论正确的是（    ）

A．      B．      C．       D．

9. 难度：简单

已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（    ）

A．   B．    C．   D．

10. 难度：困难

动圆C经过点，并且与直线相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积（    ）

A．有最大值    B．有最小值   C．有最小值    D．有最小值

11. 难度：困难

已知函数，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（     ）

A．     B．

C．    D．

二、填空题

12. 难度：中等

设实数x，y满足约束条件，若目标函数（）的最大值为8，则的最小值为             .

13. 难度：简单

设，则的展开式中常数项是       .

14. 难度：困难

已知、都是定义在R上的函数，，，，，则关于x的方程（）有两个不同实根的概率为      .

15. 难度：困难

在三棱锥中，，，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是         .

三、解答题

16. 难度：困难

设数列的前n项和为，已知， ，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前n项和为，，证明：.

17. 难度：困难

某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）

     

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在的学生个数，求的分布列及其数学期望 

18. 难度：困难

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，点M在线段EC上（除端点外）

（1）当点M为EC中点时，求证：平面；

（2）若平面与平面ABF所成二面角为锐角，且该二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积

19. 难度：困难

已知圆，直线与圆相切，且交椭圆于两点，c是椭圆的半焦距， 

（1）求m的值；

（2）O为坐标原点，若，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A，B，动点，直线与直线分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值 

20. 难度：困难

已知函数，， 

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若对任意的，都有恒成立，求的最小值；

（3）设，，若，为曲线的两个不同点，满足，且，使得曲线在处的切线与直线AB平行，求证：

21. 难度：中等

如图，直线AB过圆心O，交于F（不与B重合），直线与相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC

求证：（1）；（2）

22. 难度：困难

已知曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数，） 

（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

（2）若直线经过点，求直线被曲线C截得的线段AB的长

23. 难度：中等

设

（1）当时，，求a的取值范围；

（2）若对任意，恒成立，求实数a的最小值