2013-2014学年湖北武汉市高三2月调研测试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

复数（，为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于(    )

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限

2. 难度：简单

以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．

甲组		乙组
	9	0	9
x	2	1	5	y	8
7	4	2	4

已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为(    )

A．2，6      B．2，7      C．3，6      D．3，7

3. 难度：简单

已知e₁，e₂是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e₁＋e₂，b＝－4e₁＋2e₂，则a与b的夹角为(    )

A．30°      B．60°      C．120°     D．150°

4. 难度：中等

《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加(    )

A．尺      B．尺      C．尺      D．尺

5. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n后，输出的S∈(31，72)，则n的值为(    )

A．5

B．6

C．7

D．8

6. 难度：简单

若(9x－)ⁿ（n∈N^*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为(    )

A．252      B．－252      C．84      D．－84

7. 难度：简单

设a，b∈R，则“a＋＝1”是“a²＋b²＝1”的(    )

A．充分而不必要条件            B．必要而不充分条件

C．充要条件                    D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，H分别是棱A₁B₁，D₁C₁上的点（点E与B₁不重合），且EH∥A₁D₁，过EH的平面与棱BB₁，CC₁相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA₁＝2a．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机选取一点，记该点取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A₁B₁，BB₁上运动且满足EF＝a时，则P的最小值为(    )

A．      B．      C．      D．

9. 难度：简单

若S₁＝，S₂＝，S₃＝，则S₁，S₂，S₃的大小关系为(    )

A．S₁＜S₂＜S₃    B．S₂＜S₁＜S₃    C．S₁＜S₃＜S₂    D．S₃＜S₁＜S₂

10. 难度：中等

如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为(    )

A．＋1     B．2＋2      C．－1     D．2－2

二、填空题

11. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为        ．

12. 难度：中等

曲线y＝在点M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋4y的最大值为     ．

13. 难度：困难

如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f(n)，则

（1）f(5)＝     ；

（2）f(n)＝                ．

14. 难度：中等

已知函数f(x)＝sin2x＋2cos²x＋m在区间[0，]上的最大值为3，则

（1）m＝     ；

（2）对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为        ．

15. 难度：简单

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，＝，DE交AB于点F．若AB＝4，BP＝3，则PF＝      ．

16. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(cosθ－sinθ)－a＝0与曲线（θ为参数）有两个不同的交点，则实数a的取值范围为        ．

三、解答题

17. 难度：简单

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．

（1）若a＝3，b＝，求c；

（2）求的取值范围．

18. 难度：困难

已知数列{a_n}满足a₁＞0，a_n＋1＝2－|a_n|，n∈N^*．

（1）若a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值；

（2）是否存在a₁，使数列{a_n}为等差数列？若存在，求出所有这样的a₁；若不存在，说明理由．

19. 难度：困难

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5．

（1）求直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值；

（2）在线段BC₁上确定一点D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

20. 难度：简单

甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

（1）求第4局甲当裁判的概率；

（2）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．

21. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（1）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y²＝1上；

（2）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F₁、F₂分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF₁和NF₂与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率k_OP、k_OQ、k_OS、k_OT满足k_OP＋k_OQ＋k_OS＋k_OT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 难度：困难

（1）已知函数f(x)＝e^x－1－tx，∃x₀∈R，使f(x₀)≤0，求实数t的取值范围；

（2）证明：＜ln＜，其中0＜a＜b；

（3）设[x]表示不超过x的最大整数，证明：[ln(1＋n)]≤[1＋＋ ＋]≤1＋[lnn]（n∈N^*）．