2013-2014学年陕西西安第一中学高三第二学期第二次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若集合，，则集合中的元素的个数为（   ）

A．5    B.4    C.3    D.2

2. 难度：简单

复数的实部是    （   ） 

A．        B．       C．      D．

3. 难度：简单

在等差数列中，，则的值为（     ）

A．2      B．3     C．4      D．5

4. 难度：简单

条件，条件，则是的（    ）

A．充分非必要条件           B．必要不充分条件

C．充要条件                 D．既不充分也不必要的条件

5. 难度：困难

已知双曲线的左、右焦点分别为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,若的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为（    ）

A．     B．           C．2    D．3

6. 难度：简单

运行右图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出的值是（    ）

A.0      B.1     C. 2      D. －1

7. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A． 48       B．             C．              D．80

8. 难度：简单

△ABC的三个内角，，所对的边分别为，，，，则（    ）

A．       B．     C．       D．

9. 难度：困难

设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（    ）

（A）       （B）       （C）1       （D）4

10. 难度：中等

规定表示不超过的最大整数，例如：[3.1]=3，[2.6]=3，[2]=2；若是函数导函数，设，则函数的值域是（    ）

A．       B．        C．        D.

二、填空题

11. 难度：简单

已知向量，，．若与共线，则=________.

12. 难度：简单

观察下列式子：

,…,根据以上

式子可以猜想：_________;

13. 难度：中等

函数的图象和函数的图象的交点个数是      。

14. 难度：简单

如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是        .

15. 难度：简单

不等式的实数解为 ____________

16. 难度：简单

已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为____________

17. 难度：简单

如图所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB = 7, C是圆上一点使得BC = 5，，则AB =____________

三、解答题

18. 难度：困难

设函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）当时，的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方程．

19. 难度：困难

如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点．

（1）求证:平面;

（2）求平面和平面的夹角.

20. 难度：困难

已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）记,求证：.

21. 难度：中等

某高校在202年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)， 第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

（1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，

(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；

(ⅱ)学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有名学生被考官D面试，求的分布列和数学期望.

22. 难度：困难

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.

（1）求该椭圆的方程；

（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

23. 难度：中等

设函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．