2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第七章第3课时练习卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

用数学归纳法证明不等式“2ⁿ>n²＋1对于n≥n₀的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n₀应取为________．

2. 难度：简单

设f(n)＝1＋(n∈N^*)，则f(k＋1)－f(k)＝________.

3. 难度：简单

用数学归纳法证明“当n为正偶数时xⁿ－yⁿ能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成____．

4. 难度：中等

已知a₁＝，a_n＋1＝，则a₂，a₃，a₄，a₅的值分别为________________，由此猜想a_n＝________．

二、解答题

5. 难度：困难

设n∈N^*，f(n)＝1＋＋＋…＋，试比较f(n)与的大小．

6. 难度：压轴

已知数列{b_n}是等差数列，b₁＝1，b₁＋b₂＋…＋b₁₀＝145.

(1)求数列{b_n}的通项公式b_n；

(2)设数列{a_n}的通项a_n＝log_a(其中a＞0且a≠1)．记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n＋1的大小，并证明你的结论.

7. 难度：困难

已知数列{a_n}满足a₁＝1，且4a_n＋1－a_na_n＋1＋2a_n＝9(n∈N^)．

(1)求a₂，a₃，a₄的值；

(2)由(1)猜想{a_n}的通项公式，并给出证明．

8. 难度：困难

已知f(n)＝1＋n∈N^)，g(n)＝2(－1)(n∈N^)．

(1)当n＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；

(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．

三、填空题

9. 难度：简单

用数学归纳法证明1＋<n，其中n>1且n∈N^*，在验证n＝2时，式子的左边等于________．

10. 难度：简单

用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ＋yⁿ能被x＋y整除”的第二步是____．

四、解答题

11. 难度：压轴

设数列{a_n}的前n项和为S_n.已知a₁＝1，＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^*.

(1)求a₂的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n，有.

五、填空题

12. 难度：中等

用数学归纳法证明“1²＋2²＋3²＋…＋n²＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N^*)”，当n＝k＋1时，应在n＝k时的等式左边添加的项是________．

六、解答题

13. 难度：中等

用数学归纳法证明不等式：＞1(n∈N^*且n＞1)．

14. 难度：困难

设函数f(x)＝x－xlnx，数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n＋1＝f(a_n)．求证：

(1)函数f(x)在区间(0，1)是增函数；

(2)a_n＜a_n＋1＜1.

15. 难度：困难

设数列{a_n}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)^k－1k，…，(－1)，即当(k∈N^*)时，a_n＝(－1)^k－1k，记S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n(n∈N^*)，用数学归纳法证明S_i(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N^*)．