2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第5课时练习卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．

(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元)；

(2)为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

二、填空题

2. 难度：简单

某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N^*)为________．

三、解答题

3. 难度：困难

水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%.

(1)试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？

(2)为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？

4. 难度：困难

设C₁、C₂、…、C_n、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线y＝x相切，对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n＋1相互外切，以r_n表示C_n的半径，已知{r_n}为递增数列．

(1)证明：{r_n}为等比数列；

(2)设r₁＝1，求数列的前n项和.

5. 难度：困难

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q，且0＜q＜.

(1)在数列{a_n}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；

(2)若a₁＝1，且对任意正整数k，a_k－(a_k＋1＋a_k＋2)仍是该数列中的某一项．

(ⅰ)求公比q；

(ⅱ)若b_n＝－loga_n＋1(＋1)，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，T_r＝S₁＋S₂＋…＋S_n，试用S₂₀₁₁表示T₂₀₁₁.

6. 难度：困难

已知等差数列{a_n}满足：a_n＋1>a_n(n∈N^*)，a₁＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项．

(1)分别求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

(2)设T_n＝(n∈N^*)，若T_n＋<c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．

7. 难度：困难

已知数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b_n}是首项为1，公比为q(q＞1)的等比数列．

(1)若a₅＝b₅，q＝3，求数列{a_n·b_n}的前n项和；

(2)若存在正整数k(k≥2)，使得a_k＝b_k.试比较a_n与b_n的大小，并说明理由．．

四、填空题

8. 难度：简单

已知公差不为0的等差数列{a_n}满足a₁，a₃，a₉成等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，则＝________．

五、解答题

9. 难度：简单

已知等差数列{a_n}的公差d＝1，前n项和为S_n.

(1)若1，a₁，a₃成等比数列，求a₁；

(2)若S₅>a₁a₉，求a₁的取值范围．

10. 难度：简单

设{a_n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S_n，且a₅，a₃，a₄成等差数列．

(1)求数列{a_n}的公比；

(2)证明：对任意k∈N_＋，S_k＋2，S_k，S_k＋1成等差数列．

11. 难度：困难

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且a₂a_n＝S₂＋S_n对一切正整数都成立．

(1)求a₁，a₂的值；

(2)设a₁＞0，数列前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出最大值．

六、填空题

12. 难度：中等

某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出________万元资金进行奖励．

13. 难度：中等

在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c＝________．

1		2
0.5		1
		a
			b
				c

七、解答题

14. 难度：困难

我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度．公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…，a_n是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁(1＋r)^n－1，第二年所交纳的储备金就变为a₂(1＋r)^n－2，…，以T_n表示到第n年所累计的储备金总额．

(1)写出T_n与T_n－1(n≥2)的递推关系式；

(2)求证：T_n＝A_n＋B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列．

15. 难度：困难

甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n²－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元．

(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a_n、b_n,求a_n、b_n的表达式；

(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？