2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第3课时练习卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

若直线l与平面α不垂直，则在平面α内与直线l垂直的直线有________条．

2. 难度：简单

已知A、B、C是不共线的三点，直线m垂直于直线AB和AC，直线n垂直于直线BC和AC，则直线m，n的位置关系是________．

3. 难度：简单

下列命题：①一条直线在平面内的射影是一条直线；②在平面内射影是直线的图形一定是直线；③在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数是________．

4. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A、B的任一点，则图中直角三角形的个数为________．

5. 难度：中等

P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影．

(1)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________心；

(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的________心；

(3)若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．

二、解答题

6. 难度：中等

如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA、PB的中点．求证：

(1)MN∥平面PCD；

(2)四边形MNCD是直角梯形；

(3)DN⊥平面PCB.

7. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，A₁A＝AC，D、E、F分别为线段AC、A₁A、C₁B的中点．

(1)证明：EF∥平面ABC；

(2)证明：C₁E⊥平面BDE.

8. 难度：简单

已知如图①所示，矩形纸片AA′A₁′A₁，点B、C、B₁、C₁分别为AA′、A₁A₁′的三等分点，将矩形纸片沿BB₁、CC₁折成如图②形状(正三棱柱)，若面对角线AB₁⊥BC₁，求证：A₁C⊥AB₁.

  (图①)

   (图②)

9. 难度：中等

在三棱锥SABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝AC＝BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE＝3DE，点M是线段SD上一点，

(1)求证：BC⊥AM；

(2)若AM⊥平面SBC，求证：EM∥平面ABS.

10. 难度：困难

在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，点D是BC的中点，BC＝BB₁.

(1)若P是CC₁上任一点，求证：AP不可能与平面BCC₁B₁垂直；

(2)试在棱CC₁上找一点M，使MB⊥AB₁.

11. 难度：简单

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是CD、A₁D₁中点．

(1)求证：AB₁⊥BF；

(2)求证：AE⊥BF；

(3)棱CC₁上是否存在点F，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

12. 难度：中等

由平面α外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A、B、C，O为△ABC的外心，求证：OP⊥α.

三、填空题

13. 难度：简单

已知l，m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：

①若lβ，且α⊥β，则l⊥α；

②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；

③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；

④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.

则所有正确的命题是________．(填序号)

14. 难度：中等

如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C、D、E均异于A、B)，则△ACD的形状是________．

15. 难度：中等

已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是________．(填序号)

①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；

④对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直．

四、解答题

16. 难度：中等

如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝，PB＝2，E、F分别是BC、PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.

17. 难度：困难

如图，在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，已知∠ACB＝90°，M为A₁B与AB₁的交点，N为棱B₁C₁的中点．

(1)求证：MN∥平面AA₁C₁C；

(2)若AC＝AA₁，求证：MN⊥平面A₁BC.

五、填空题

18. 难度：简单

如图PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的是________．(填序号)

六、解答题

19. 难度：简单

如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A、B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.现给出三个条件：①PB＝；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；

20. 难度：简单

在空间四边形ABCD中，已知AC⊥BD,AD⊥BC,求证：AB⊥CD.

21. 难度：中等

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD.若E、F分别为PC、BD的中点，求证：

(1)EF∥平面PAD；

(2)EF⊥平面PDC.