2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第6课时练习卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________．

2. 难度：简单

已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a,＝b,＝c，用a，b，c表示向量＝________．

3. 难度：中等

已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m＝________.

4. 难度：简单

已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于________．

5. 难度：简单

在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，点E为BB₁的中点，则平面A₁ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．

6. 难度：简单

如图，在平行六面体ABCDA₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点．若＝a，＝b，＝c，则＝________.

二、解答题

7. 难度：中等

已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝，b＝.

(1)求a和b的夹角θ；

(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．

8. 难度：困难

如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.

9. 难度：中等

如右图，在棱长为a的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，G为△BC₁D的重心，

(1)试证：A₁、G、C三点共线；

(2)试证：A₁C⊥平面BC₁D；

10. 难度：困难

如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.

(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；

(2)求二面角OOFE的正弦值．

11. 难度：困难

如图所示，在直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A₁A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；

(2)求平面ADC₁与平面ABA₁所成二面角的正弦值．

三、填空题

12. 难度：中等

设A₁、A₂、A₃、A₄、A₅是空间中给定的5个不同的点，则使＋＋＋＋＝0成立的点M的个数为________．

13. 难度：中等

若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3)，则l与α所成角的正弦值为________．

四、解答题

14. 难度：中等

如图所示，直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝AB.

(1)证明：BC₁∥平面A₁CD；

(2)求二面角DA₁CE的正弦值．.

15. 难度：中等

如图所示，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB.

(1)求PA的长；

(2)求二面角B-AF-D的正弦值．

16. 难度：中等

在三棱锥SABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．

(1)若D为侧棱SB上一点，当为何值时，CD⊥AB；

(2)求二面角S-BC-A的余弦值大小．

17. 难度：中等

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B₁B、DA的中点．

(1)求二面角D₁-AE-C的大小；

(2)求证：直线BF∥平面AD₁E.

18. 难度：困难

三棱柱ABC－A₁B₁C₁在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，A₁A＝3.D是BC的中点．

(1)求直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；

(2)求二面角B_1-A₁D-C₁的正弦值．

19. 难度：困难

如图，在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A₁B＝2.

(1)求棱AA₁与BC所成的角的大小；

(2)在棱B₁C₁上确定一点P，使二面角P－AB－A₁的平面角的余弦值为.

20. 难度：困难

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

(1)求证：DC⊥平面ABC；

(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值；

(3)求二面角B－EF－A的余弦值．