1. 难度:中等 | |
已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B=ccos B+bcos C. (1)求角B的大小; (2)设向量m=(cos A,cos 2A),n=(12,-5),求当m·n取最大值时,tan C的值.
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2. 难度:困难 | |
在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=BC=AD=2,CD=4,E为边DC的中点,如图1.将△ADE沿AE折起到△AEP位置,连PB、PC,点Q是棱AE的中点,点M在棱PC上,如图2. (1)若PA∥平面MQB,求PM∶MC; (2)若平面AEP⊥平面ABCE,点M是PC的中点,求三棱锥A MQB的体积.
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3. 难度:困难 | |
如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC的面积为S1,正方形的PQRS面积为S2.
(1)用a,θ表示S1和S2; (2)当a固定,θ变化时,求的最小值.
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4. 难度:压轴 | |
若两个椭圆的离心率相等,则称它们为“相似椭圆”.如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:=1,A1,A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.
(1)求椭圆C2的方程; (2)设P为椭圆C2上异于A1,A2的任意一点,过P作PQ⊥x轴,垂足为Q,线段PQ交椭圆C1于点H.求证:H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)
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5. 难度:困难 | |
已知函数f(x)=aln x=(a为常数). (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直,求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)当x≥1时,f(x)≤2x-3恒成立,求a的取值范围.
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6. 难度:困难 | |
已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn为数列{an}的前n项和. (1)若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有Sn3=(Sn)3成立,求数列{an}的通项公式; (2)对任意正整数n,从集合{a1,a2,…,an}中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与a1,a2,…,an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合. (ⅰ)求a1,a2的值; (ⅱ)求数列{an}的通项公式.
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