2014年广东省广州市毕业班综合测试一理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知是虚数单位，若，则实数的值为（    ）

A.                     B.                     C.                       D.

2. 难度：简单

在中，角、、所对的边分别为、、，若，则为（    ）

A.                 B.                C.                   D.

3. 难度：中等

圆关于直线对称的圆的方程为（    ）

A.                                   B.

C.                                    D.

4. 难度：简单

若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A.                   B.

C.         D.

5. 难度：中等

某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为、、、、.若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在范围内的数据个，则其中分数在范围内的样本数据有（    ）

A.个                     B.个                      C.个                     D.个

6. 难度：中等

已知集合，则集合中的元素个数为（    ）

A.                       B.                        C.                         D.

7. 难度：中等

设、是两个非零向量，则使成立的一个必要非充分的条件是（    ）

A.                 B.                 C.               D.

8. 难度：中等

设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记.若，且，则的值可以为（    ）

A.          B.         C.       D.

二、填空题

9. 难度：中等

若不等式的解集为，则实数的值为           .

10. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出，则输入的值为             .

11. 难度：中等

一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是           .

12. 难度：简单

设为锐角，若，则          .

13. 难度：简单

在数列中，已知，，记为数列的前项和，则        .

14. 难度：中等

在极坐标系中，直线与曲线相交于、两点，若，则实数的值为            .

15. 难度：中等

如图，是圆的切线，切点为点，直线与圆交于、两点，的角平分线交弦、于、两点，已知，，则的值为         .

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的图象经过点.

（1）求实数的值；

（2）设，求函数的最小正周期与单调递增区间.

17. 难度：中等

甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是，乙、丙两人同时能被聘用的概率为，且三人各自能否被聘用相互独立.

（1）求乙、丙两人各自被聘用的概率；

（2）设为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望）.

18. 难度：困难

如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.

（1）求证：；

（2）在棱上确定一点，使、、、四点共面，并求此时的长；

（3）求平面与平面所成二面角的余弦值.

19. 难度：中等

已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）设第个正方形的边长为，求前个正方形的面积之和.

（注：表示与的最小值.）

20. 难度：困难

已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.

（1）求实数的值；

（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；

（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.

21. 难度：困难

已知函数（其中为自然对数的底数）.

（1）求函数的单调区间；

（2）定义：若函数在区间上的取值范围为，则称区间为函数的“域同区间”.试问函数在上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.