2014年高考数学（理）二轮专题复习知能提升演练1-5-3练习卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为棱AA₁和BB₁的中点，则sin〈，〉的值为 (　　)．

A.     B.      C.      D.

2. 难度：中等

如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，CA＝CC₁＝2CB，则直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值为(　　)．

A.       B.       C.      D.

3. 难度：中等

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，M，N分别为A₁B和AC上的点，A₁M＝AN＝，则MN与平面BB₁C₁C的位置关系是(　　)．

A．相交    B．平行      C．垂直    D．不能确定

4. 难度：中等

过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是(　　)．

A．30°       B．45°       C．60°       D．90°

5. 难度：困难

正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的棱长都为2，E，F，G为AB，AA₁，A₁C₁的中点，则B₁F与平面GEF所成角的正弦值为(　　)．

A.        B.        C.      D.

二、填空题

6. 难度：中等

在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱CD，CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成的角的大小是________

7. 难度：中等

在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．

8. 难度：困难

在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．

三、解答题

9. 难度：困难

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝AB.

(1)证明：BC₁∥平面A₁CD；

(2)求二面角D－A₁C－E的正弦值．

10. 难度：困难

已知四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G，H分别是CE，CF的中点．

(1)求证：平面AEF∥平面BDGH

(2)若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．

11. 难度：困难

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B₁E⊥AD₁.

(2)在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

(3)若二面角A－B₁E－A₁的大小为30°，求AB的长．