2014年高考数学（理）二轮复习专题提升训练优化重组卷4练习卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M为棱A₁B₁的中点，N为棱A₁D₁的中点．如图是该正方体被M，N，A所确定的平面和N，D，C₁所确定的平面截去两个角后所得的几何体，则这个几何体的正视图为(　　)．

2. 难度：中等

一个正三棱柱的正视图是边长为的正方形，则它的外接球的表面积等于(　　)．

A．8π         B.        C．9π         D.

3. 难度：困难

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，则BB₁与平面AB₁C₁所成的角为(　　)．

A.        B.      C.      D.

4. 难度：中等

如图，某几何体的正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，则这个几何体的表面中，直角三角形个数为(　　)．

A．1    B．2    C．3    D．4

5. 难度：困难

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C₁D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　)．

A.      B.      C.       D.

二、填空题

6. 难度：中等

如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为________．

7. 难度：简单

一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为________．

8. 难度：中等

如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．

9. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在直线BC₁上运动时，有下列三个命题：①三棱锥AD₁PC的体积不变；②直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；③二面角P-AD₁-C的大小不变．其中真命题的序号是________．

三、解答题

10. 难度：困难

如图所示为一个几何体的直观图、三视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形)．

(1)求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.

11. 难度：困难

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连接CE并延长交AD于F.

(1)求证：AD⊥平面CFG；

(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

12. 难度：困难

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB＝AA₁＝.

(1)证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；

(2)求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

13. 难度：困难

如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB＝2AD，AD＝，E为DC的中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B.

(1)求证：AD⊥平面BDE；

(2)求二面角B-AD-E的余弦值．

14. 难度：困难

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．

(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；

(2)若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．