2015届北京市西城区高二第一学期期末理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

圆的半径为(     )

A.   B.   C.   D.

2. 难度：简单

双曲线的实轴长为 (     )

A.   B.   C.   D.

3. 难度：简单

若，，且，则 (     )

A.   B.

C.   D.

4. 难度：简单

命题“,”的否定为 (     )

A. ，  B. ，

C. ，  D. ，

5. 难度：简单

“”是“方程表示圆”的 (     )

A. 充分而不必要条件  B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件      D. 既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

关于直线以及平面,下列命题中正确的是 (    )

A. 若，，则       B. 若，，则

C. 若，且，则  D. 若，，则

7. 难度：中等

已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，则 (    )

A.   B.   C.   D.

8. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（    ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：简单

已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若，则动点的轨迹是（    ）

A. 圆  B. 抛物线  C. 椭圆  D. 双曲线

10. 难度：中等

已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与．给出下列结论：

①对于任意给定的点，存在点，使得；

②对于任意给定的点，存在点，使得；

③对于任意给定的点，存在点，使得；

④对于任意给定的点，存在点，使得．

其中正确结论的个数是（    ）

A. 1个  B. 2个  C. 3个  D. 4个

二、填空题

11. 难度：简单

已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______.

12. 难度：简单

命题“若，则”的否命题是：__________________.

13. 难度：简单

双曲线的离心率为_______；渐近线方程为_______.

14. 难度：简单

一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.

15. 难度：中等

如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为_______；二面角的大小为_______.

16. 难度：简单

已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.

给出下列结论：

①存在点，使得为等边三角形；

②不存在点，使得为等边三角形；

③存在点，使得；

④不存在点，使得.

其中，所有正确结论的序号是__________.

三、解答题

17. 难度：困难

如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

18. 难度：中等

已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.

（1）求圆的方程；

（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.

19. 难度：困难

如图，在直三棱柱中，，，是中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20. 难度：困难

如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.

（1）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率；

（2）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.

22. 难度：困难

已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.

（1）若所在的直线方程为，求的长；

（2）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.