2015届北京海淀区高二上学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

抛物线的准线方程是 (     )

（A）        （B）       （C）       （D）

2. 难度：简单

若直线与直线平行，则实数(     )

（A）          （B）          （C）             （D）

3. 难度：中等

在四面体中，点为棱的中点. 设, ，，那么向量用基底可表示为（    ）

（A）    （B）
（C）        （D）

4. 难度：中等

已知直线，平面.则“”是“直线，”的（    ）

（A）充分而不必要条件                 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件                         （D）既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

6. 难度：简单

已知命题椭圆的离心率，命题与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么（     ）

（A）是真命题                  （B）是真命题

（C）是真命题               （D）是假命题

7. 难度：简单

若焦距为的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为（     ）

（A）         （B）           （C）          （D）

8. 难度：简单

如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．则下列命题中假命题是（     ）

（A）存在点，使得//平面

（B）存在点，使得平面

（C）对于任意的点，平面平面

（D）对于任意的点，四棱锥的体积均不变

二、填空题

9. 难度：简单

在空间直角坐标系中，已知，.若，则              .

10. 难度：简单

过点且与圆相切的直线方程是             .

11. 难度：简单

已知抛物线：，为坐标原点，为的焦点，是上一点. 若是等腰三角形，则                  .

12. 难度：中等

已知点是双曲线的两个焦点，过点的直线交双曲线的一支于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为             .

13. 难度：中等

如图所示，已知点是正方体的棱上的一个动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值是                   .

14. 难度：中等

曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于的点的轨迹.给出下列四个结论：

①曲线过坐标原点；

②曲线关于轴对称；

③曲线与轴有个交点；

④若点在曲线上，则的最小值为.

其中，所有正确结论的序号是___________．

三、解答题

15. 难度：困难

在平面直角坐标系中，已知点，动点在轴上的正射影为点，且满足直线.

（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）当时，求直线的方程.

16. 难度：压轴

已知椭圆：，直线交椭圆于两点.

（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及长轴长；

（Ⅱ）求以线段为直径的圆的方程.

17. 难度：困难

如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

18. 难度：困难

已知椭圆：经过如下五个点中的三个点：，，，，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点为椭圆的左顶点，为椭圆上不同于点的两点，若原点在的外部，且为直角三角形，求面积的最大值.