2015届广东惠州高二第一学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

椭圆的焦距等于（    ）

A．20    B．16               C．12        D．8

2. 难度：简单

某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（    ）

A．抽签法            B．随机数表法         C．系统抽样法             D．分层抽样法

3. 难度：简单

空间中，与向量同向共线的单位向量为（    ）

A．                              B．或

C．                            D．或

4. 难度：简单

已知点是抛物线的焦点，点在该抛物线上，且点的横坐标是，则=（    ）

A．2                  B．3                   C．4                      D．5

5. 难度：简单

已知事件与事件发生的概率分别为、，有下列命题：

①若为必然事件，则；         ②若与互斥，则；

③若与互斥，则.

其中真命题有（    ）个

A．0                 B．1                     C．2                      D．3

6. 难度：简单

“”是“方程表示的曲线为抛物线”的（    ）条件

A．充分不必要       B．必要不充分            C．充要                   D．既不充分也不必要

7. 难度：中等

执行右边的程序框图，如果输入，那么输出 (    )

A．2                   B．3                      C．4                          D．5

8. 难度：困难

已知椭圆，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为8，则的值是（    ）

A．             B．                     C．                         D．

二、填空题

9. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为                       .

10. 难度：简单

样本，，，，的方差为                       .

11. 难度：中等

已知，，若，则的值为            .

12. 难度：简单

命题“”的否定是                      .

13. 难度：简单

某城市近10年居民的年收入与支出之间的关系大致符合（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则今年支出估计是         亿元.

14. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率        .

三、解答题

15. 难度：简单

某社团组织20名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动，志愿者中，年龄在20至40岁的有12人，年龄大于40岁的有8人.

（1）在志愿者中用分层抽样方法随机抽取5名，年龄大于40岁的应该抽取几名?

（2）上述抽取的5名志愿者中任取2名，求取出的2人中恰有1人年龄大于40岁的概率.

16. 难度：中等

已知，，点的坐标为.

（1）求当时，点满足的概率；

（2）求当时，点满足的概率.

17. 难度：中等

设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.

18. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆的交点为，求弦长.

19. 难度：困难

如图，已知正方体棱长为2，、、分别是、和的中点.

（1）证明：面；

（2）求二面角的余弦值.

20. 难度：困难

已知动直线与椭圆交于、两不同点，且△的面积=，其中为坐标原点.

（1）证明和均为定值；

（2）设线段的中点为，求的最大值；

（3）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断△的形状；若不存在，请说明理由.