2015届江西赣州四所重点中学高二上学期期末联考理数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

观察下列数的特点，1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中，其中x是（ ）

A．12   B．13   C．14   D．15

2. 难度：中等

设命题p：方程x²＋3x－1＝0的两根符号不同；命题q：方程x²＋3x－1＝0的两根之和为3，判断命题“p”、“q”、“p∧q”、“p∨q”为假命题的个数为（ ）

A．0   B．1   C．2   D．3

3. 难度：中等

向量＝(2,4,x),＝(2,y,2)，若||＝6,且⊥，则x＋y的值为（ ）

A．－3   B．1   C．－3或1  D．3或1

4. 难度：简单

过抛物线y＝x²上的点M(,)的切线的倾斜角是（ ）

A．30°   B．45°   C．60°   D．90°

5. 难度：中等

如图所示，程序框图输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在函数（ ）

A．y＝x＋1的图象上

B．y＝2x的图象上

C．y＝2^x的图象上

D．y＝2^x－1的图象上

6. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V₁，直径为4的球的体积为V₂，则V₁:V₂等于（ ）

A．1:2

B．2:1

C．1:1

D．1:4

7. 难度：中等

设A,B两点的坐标分别为(－1,0),(1,0)，条件甲：·＞0；条件乙：点C的坐标是方程的解，则甲是乙的（ ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件         D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

一个三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱长都为a，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）

A．πa²   B．15πa²  C．πa²   D．πa²

9. 难度：中等

已知直线l₁:4x－3y＋6＝0和直线l₂:x＝－1，抛物线y²＝4x上一动点P，P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（ ）

A．2   B．3   C．   D．

10. 难度：中等

P是双曲线右支上的一点，M,N分别是圆(x＋5)²＋y²＝4和(x－5)²＋y²＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）

A．6   B．7   C．8   D．9

二、填空题

11. 难度：简单

某学校共有师生2400人，现用分层抽样方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是   。

12. 难度：困难

若命题“x∈R,x²＋ax＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为   。

13. 难度：中等

双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为     。

14. 难度：简单

如图，在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在△ACB内任作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率为    。

15. 难度：困难

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，

则下列四个命题：

①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A—D₁PC的体积不变；

②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；

③P在直线BC₁上运动时，二面角P—AD₁—C的大小不变；

④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是过D₁点的直线D₁A₁。

其中真命题的编号是    。

三、解答题

16. 难度：困难

设集合A＝(―∞,―2]∪[3,＋∞)，关于x的不等式(x－2a)·(x＋a)＞0的解集为B（其中a＜0).

（1）求集合B；

（2）设p:x∈A,q:x∈B，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围。

17. 难度：中等

已知函数y＝x－1，令x＝―4,―3,―2,－1,0,1,2,3,4，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)，

（1）求P₁,P₂两点在双曲线xy＝6上的概率；

（2）求P₁,P₂两点不在同一双曲线xy＝k(k≠0)上的概率。

18. 难度：困难

是否存在常数a,b使等式对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a,b的值，若不存在，请说明理由。

19. 难度：困难

如图，椭圆过点P(1, )，其左、右焦点分别为F₁,F₂,离心率e＝,M,N是直线x＝4上的两个动点，且·＝0.

（1）求椭圆的方程；

（2）求|MN|的最小值；

（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论。

20. 难度：困难

已知定点A(－2,0)和B(2,0)，曲线E上任一点P满足|PA|－|PB|＝2.

（1）求曲线E的方程；

（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值；

（3）若直线l的方程为x＝a(a≤)，延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某一位置，使得从PQ的中点R向l作垂线，垂足为C，满足PC⊥QC，求a的取值范围。