2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标6.1练习卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

由集合{a₁}，{a₁，a₂}，{a₁，a₂，a₃}，…的子集个数归纳出集合{a₁，

a₂，a₃，…，a_n}的子集个数为(  )

A．n   B．n＋1 

C．2ⁿ   D．2ⁿ－1

二、填空题

2. 难度：简单

n个连续自然数按规律排列下表：

0  3 → 4   7 → 8  11…

↓  ↑ ↓   ↑  ↓  ↑

1 → 2  5 → 6   9 → 10

根据规律，从2010到2012箭头方向依次为________．

三、解答题

3. 难度：中等

设S_n＝＋…＋，写出S₁，S₂，S₃，S₄的值，归纳并猜想出结果，并给出证明．

四、选择题

4. 难度：简单

设n是自然数，则(n²－1)[1－(－1)ⁿ]的值 (  )

A．一定是零   B．不一定是整数

C．一定是偶数   D．是整数但不一定是偶数

5. 难度：简单

观察下列各式：5⁵＝3 125,5⁶＝15 625,5⁷＝78 125，…，则5^{2 011}

的末四位数字为  (  )．

A．3 125   B．5 625 

C．0 625   D．8 125

五、填空题

6. 难度：中等

设函数f(x)＝ (x>0)，观察f₁(x)＝f(x)＝，

f₂(x)＝f[f₁(x)]＝，

f₃(x)＝f[f₂(x)]＝，

f₄(x)＝f[f₃(x)]＝，…

根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N_＋且n≥2时，f_n(x)＝f[f_n－1(x)]＝________.

7. 难度：中等

观察下列等式

1＝1

2＋3＋4＝9

3＋4＋5＋6＋7＝25

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

…

照此规律，第n个等式为________．

六、解答题

8. 难度：简单

观察以下等式：

sin²30°＋cos²60°＋sin 30°·cos 60°＝，

sin²40°＋cos²70°＋sin 40°·cos 70°＝，

sin²15°＋cos²45°＋sin 15°·cos 45°＝.

…

写出反映一般规律的等式，并给予证明．

9. 难度：简单

在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝，n∈N_＋，求a₂，a₃，a₄

并猜想数列的通项公式，并给出证明．

七、填空题

10. 难度：简单

类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结

论为________．

八、解答题

11. 难度：中等

如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、

SC和底面ABC，所成的角分别为α₁、α₂、α₃，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S₁，S₂，S₃，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．

九、选择题

12. 难度：简单

给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．

其中类比得到的结论正确的个数是 (  )．

A．0   B．1  C．2   D．3

十、填空题

13. 难度：简单

在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．

十一、解答题

14. 难度：中等

设V为全体平面向量构成的集合，若映射f：

V→R满足：

对任意向量a＝(x₁，y₁)∈V，b＝(x₂，y₂)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质p.

现给出如下映射：

①f₁：V→R，f₁(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；

②f₂：V→R，f₂(m)＝x²＋y，m＝(x，y)∈V；

③f₃：V→R，f₃(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.

分析映射①②③是否具有性质p.

十二、选择题

15. 难度：简单

下列表述正确的是  (  )

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

A．①②③   B．②③④ 

C．②④⑤   D．①③⑤

十三、填空题

16. 难度：中等

定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足(1)f(9)＝2；(2)对∀a，b∈(0，＋

∞)，有f(ab)＝f(a)＋f(b)，则f＝________.

十四、选择题

17. 难度：简单

函数f(x)＝x³＋sin x＋1(x∈R)若f(a)＝2，则f(－a)的值为 (  )．

A．3  B．0  C．－1   D．－2

18. 难度：简单

设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数(  )

A．至少有一个不大于2   B．都小于2

C．至少有一个不小于2   D．都大于2

十五、解答题

19. 难度：困难

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

已知a₁，a₂∈R，a₁＋a₂＝1，求证：＋≥.

证明：构造函数f(x)＝(x－a₁)²＋(x－a₂)²，f(x)对一切实数x∈R，恒有f(x)≥0，则Δ＝4－8(＋)≤0，∴＋≥.

(1)已知a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁＋a₂＋…＋a_n＝1，请写出上述结论的推广式；

(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

20. 难度：中等

已知S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且满足S_n＝＋a_n(n∈

N_＋)，求出a₁，a₂，a₃，a₄，猜想{a_n}的通项公式并给出证明