2015届重庆市高二上学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

直线与直线垂直，则实数的值为（      ）

A．          B．           C．             D．

2. 难度：中等

抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则（      ）

A．            B．             C．               D．

3. 难度：困难

已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，则圆的方程是（      ）

A．              B．

C．           D．

4. 难度：困难

棱长为2的正方体的内切球的表面积为（      ）

A.           B．          C．            D．

5. 难度：困难

已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（    ）

A.             B.               C.                 D.

6. 难度：简单

已知、是不重合的平面，、、是不重合的直线，给出下列命题：

①；②；③．

其中正确命题的个数是（       ）

A．3      B．2         C．1        D．0

7. 难度：中等

一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为（     ）

A.        B.            C.           D.

8. 难度：困难

已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（     ）

A.         B.          C.           D.

9. 难度：困难

若函数函数,则的最小值为(      )

A.       B.

C.            D.

10. 难度：困难

（原创）若对定义在上的可导函数，恒有，（其中表示函数的导函数在的值），则（   ）

A.恒大于等于0        B.恒小于0

C.恒大于0            D.和0的大小关系不确定

二、填空题

11. 难度：困难

如图，直三棱柱中，，，，则该三棱柱的侧面积为           ．

12. 难度：中等

如图所示的“赵爽弦图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是______________．

13. 难度：中等

已知函数在上是单调减函数,则实数的取值范围是___________．

14. 难度：困难

如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，且，是的中点，则与平面所成角的正弦值为___________．

15. 难度：困难

已知抛物线的焦点为，顶点为，准线为，过该抛物线上异于顶点的任意一点作于点，以线段为邻边作平行四边形，连接直线交于点，延长交抛物线于另一点．若的面积为，的面积为，则的最大值为____________．

三、解答题

16. 难度：困难

已知一条曲线在轴右侧，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是1．

（1）求曲线的方程；

（2）设直线交曲线于两点，线段的中点为，求直线的一般式方程．

17. 难度：困难

如图，是正方形所在平面外一点，且，，若、分别是、的中点．

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离．

18. 难度：困难

已知三次函数，为实常数。

（1）若时，求函数的极大、极小值；

（2）设函数，其中是的导函数，若的导函数为，，与轴有且仅有一个公共点，求的最小值．

19. 难度：压轴

如图，在中，，，点在边上，设，过点作交于，作交于。沿将翻折成使平面平面；沿将翻折成使平面平面．

（1）求证：平面；

（2）是否存在正实数，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：压轴

如图，已知椭圆的离心率是，分别是椭圆的左、右两个顶点，点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点，且满足．

（1）求椭圆的方程以及点的坐标；

（2）过点作轴的垂线，再作直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线交直线于点．求证：以线段为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．

21. 难度：困难

函数，其中为实常数。

（1）讨论的单调性；

（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，设，。是否存在实常数，既使又使对一切恒成立？若存在，试找出的一个值，并证明；若不存在，说明理由．