2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖北卷解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（2011•湖北）i为虚数单位，则（）²⁰¹¹=（　　）

A．﹣i        B．﹣1        C．i        D．1

2. 难度：中等

（2011•湖北）已知U={y|y=log₂x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁_UP=（　　）

A．[，+∞）        B．（0，）

C．（0，+∞）        D．（﹣∞，0）∪（，+∞）

3. 难度：简单

（2011•湖北）已知函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（　　）

A．{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}

B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}

C．{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}

D．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}

4. 难度：压轴

（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（　　）

A．n=0        B．n=1        C．n=2        D．n≥3

5. 难度：中等

（2011•湖北）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，a²），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（　　）

A．0.6        B．0.4        C．0.3        D．0.2

6. 难度：中等

（2011•湖北）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x﹣a^﹣x+2（a＞0，且a≠0）．若g（a）=a，则f（a）=（　　）

A．2        B．        C．        D．a²

7. 难度：中等

（2011•湖北）如图，用K、A₁、A₂三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A₁、A₂至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A₁、A₂正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（　　）

A．0.960        B．0.864        C．0.720        D．0.576

8. 难度：中等

（2011•湖北）已知向量=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（　　）

A．[﹣2，2]        B．[﹣2，3]        C．[﹣3，2]        D．[﹣3，3]

9. 难度：中等

（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（　　）

A．必要不充分条件        B．充分不必要的条件

C．充要条件              D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M₀，其中M₀为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（　　）

A．5太贝克        B．75In2太贝克        C．150In2太贝克        D．150太贝克

二、填空题

11. 难度：中等

（2011•湖北）（x﹣）¹⁸的展开式中含x¹⁵的项的系数为　_________　．（结果用数值表示）

12. 难度：中等

（2011•湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为　_________　．（结果用最简分数表示）

13. 难度：中等

（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为　_________　升．

14. 难度：中等

（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．

（1）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为　_________　；

（2）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）²+2y²﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是　_________　．

15. 难度：中等

（2011•湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有　_________　种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有　_________　种，（结果用数值表示）

三、解答题

16. 难度：中等

（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=

（1）求△ABC的周长；

（2）求cos（A﹣C）的值．

17. 难度：困难

（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

18. 难度：困难

（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC₁上，且不与点C重合．

（1）当CF=1时，求证：EF⊥A₁C；

（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．

19. 难度：困难

（2011•湖北）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=a（a≠0），a_n+1=rS_n （n∈N^*，r∈R，r≠﹣1）．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若存在k∈N^*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2是否成等差数列，并证明你的结论．

20. 难度：困难

（2011•湖北）平面内与两定点A₁（﹣a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．

（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

（2）当m=﹣1时，对应的曲线为C₁；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C₂，设F₁、F₂是C₂的两个焦点．试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：压轴

（2011•湖北）（1）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；

（2）设a₁，b₁（k=1，2…，n）均为正数，证明：

①若a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n≤b₁+b₂+…b_n，则…≤1；

②若b₁+b₂+…b_n=1，则≤…≤b₁²+b₂²+…+b_n²．