2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（天津卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

（5分）（2011•天津）i是虚数单位，复数=（          ）

A.2﹣i    B.2+i    C.﹣1﹣2i    D.﹣1+2i

2. 难度：简单

（5分）（2011•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值为（          ）

A.﹣4    B.0    C.    D.4

3. 难度：简单

（5分）（2011•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣4，则输出y的值为（          ）

A.0.5    B.1    C.2    D.4

4. 难度：简单

（5分）（2011•天津）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（          ）

A.充分而不必要条件    B.必要而不充分条件

C.充分必要条件    D.即不充分也不必要条件

5. 难度：简单

（5分）（2011•天津）已知a=log₂3.6，b=log₄3.2，c=log₄3.6则（          ）

A.a＞b＞c    B.a＞c＞b    C.b＞a＞c    D.c＞a＞b

6. 难度：困难

（5分）（2011•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y²=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（          ）

A.2    B.2    C.4    D.4

7. 难度：中等

（5分）（2011•天津）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（          ）

A.f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数    B.f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数

C.f（x）在区间[3π，5π]上是减函数    D.f（x）在区间[4π，6π]上是减函数

8. 难度：简单

（5分）（2011•天津）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x²﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（          ）

A.（﹣1，1]∪（2，+∞）    B.（﹣2，﹣1]∪（1，2]    C.（﹣∞，﹣2）∪（1，2]    D.[﹣2，﹣1]

二、填空题

9. 难度：简单

（5分）（2011•天津）已知集合A={x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于          ．

10. 难度：中等

（5分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为          m³．

11. 难度：中等

（5分）（2011•天津）已知{a_n}为等差数列，S_n为{a_n}的前n项和，n∈N^*，若a₃=16，S₂₀=20，则S₁₀值为          ．

12. 难度：简单

（5分）（2011•天津）已知log₂a+log₂b≥1，则3^a+9^b的最小值为          ．

13. 难度：简单

（5分）（2011•天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且 DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为          ．

14. 难度：简单

（5分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为          ．

三、解答题

15. 难度：困难

（13分）（2011•天津）编号为A₁，A₂，…，A₁₆的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
	得分	15	35	21	28	25	36	18	34
运动员编号	A9	A10	A11	A12	A13	A14	A15	A16
	得分	17	26	25	33	22	12	31	38

（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

区间	[10，20）	[20，30）	[30，40]
人数

（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，

（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；

（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．

16. 难度：中等

（13分）（2011•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）的值．

17. 难度：困难

（13分）（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；

（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；

（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

18. 难度：困难

设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．点P（a，b）满足|PF₂|=|F₁F₂|．

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，若直线PF₂与圆（x+1）²+=16相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程．

19. 难度：困难

（14分）（2011•天津）已知函数f（x）=4x³+3tx²﹣6t²x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．

（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

20. 难度：困难

已知数列{a_n}与{b_n}满足b_n+1a_n+b_na_n+1=（﹣2）ⁿ+1，b_n=，n∈N^*，且a₁=2．

（1）求a₂，a₃的值

（2）设c_n=a_2n+1﹣a_2n﹣1，n∈N^*，证明{c_n}是等比数列

（3）设S_n为{a_n}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N^*）