2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（湖北卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

（5分）（2011•湖北）已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}则∁_U（A∪B）（           ）

A.{6，8}    B.{5，7}    C.{4，6，7}    D.{1，3，5，6，8}

2. 难度：中等

（5分）（2011•湖北）若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（           ）

A.﹣    B.    C.    D.

3. 难度：简单

（5分）（2011•湖北）若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=e^x，则g（x）=（           ）

A.e^x﹣e^﹣x    B.（e^x+e^﹣x）    C.（e^﹣x﹣e^x）    D.（e^x﹣e^﹣x）

4. 难度：简单

（5分）（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（           ）

A.n=0    B.n=1    C.n=2    D.n≥3

5. 难度：简单

（5分）（2011•湖北）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（           ）

A.18    B.36    C.54    D.72

6. 难度：简单

（5分）（2011•湖北）已知函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（           ）

A.{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}    B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}

C.{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}    D.{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}

7. 难度：简单

（5分）（2011•湖北）设球的体积为V₁，它的内接正方体的体积为V₂，下列说法中最合适的是（           ）

A.V₁比V₂大约多一半    B.V₁比V₂大约多两倍半

C.V₁比V₂大约多一倍    D.V₁比V₂大约多一倍半

8. 难度：中等

（5分）（2011•湖北）直线2x+y﹣10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有（           ）

A.0个    B.1个    C.2个    D.无数个

9. 难度：中等

（5分）（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（           ）

A.1升    B.升    C.升    D.升

10. 难度：中等

（5分）（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（           ）

A.必要不充分条件    B.充分不必要的条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

二、填空题

11. 难度：简单

（5分）（2011•湖北）某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市           家．

12. 难度：中等

（5分）（2011•湖北）（x﹣）¹⁸的展开式中含x¹⁵的项的系数为           ．（结果用数值表示）

13. 难度：简单

（5分）（2011•湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为           ．（结果用最简分数表示）

14. 难度：简单

（5分）（2011•湖北）过点（﹣1，2）的直线l被圆x²+y²﹣2x﹣2y+1=0截得的弦长，则直线l的斜率为           ．

15. 难度：简单

（5分）（2011•湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA₀，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A₀为0.001，则此次地震的震级为           级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的           倍．

三、解答题

16. 难度：中等

（12分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=

（Ⅰ）求△ABC的周长；

（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．

17. 难度：困难

（12分）（2011•湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b_n}中的b₃、b₄、b₅．

（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n+}是等比数列．

18. 难度：困难

（12分）（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA₁上，点F在侧棱BB₁上，且AE=2，BF=．

（I） 求证：CF⊥C₁E；

（II） 求二面角E﹣CF﹣C₁的大小．

19. 难度：中等

（12分）（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

20. 难度：困难

（13分）（2011•湖北）设函数f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．

（Ⅰ） 求a、b的值，并写出切线l的方程；

（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x₁、x₂，其中x₁＜x₂，且对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：困难

（14分）（2011•湖北）平面内与两定点A₁（﹣a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．

（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C₁；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C₂，设F₁、F₂是C₂的两个焦点．试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由．