2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

（5分）（2011•福建）若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于（         ）

A.{0，1}    B.{﹣1，0，1}    C.{0，1，2}    D.{﹣1，0，1，2}

2. 难度：简单

（5分）（2011•福建）i是虚数单位1+i³等于（         ）

A.i    B.﹣i    C.1+i    D.1﹣i

3. 难度：简单

（5分）（2011•福建）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（         ）

A.充分而不必要条件    B.必要而不充分条件

C.充要条件    D.既不充分又不必要条件

4. 难度：简单

（5分）（2011•福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（         ）

A.6    B.8    C.10    D.12

5. 难度：中等

（5分）（2011•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（         ）

A.3    B.11    C.38    D.123

6. 难度：中等

（5分）（2011•福建）若关于x的方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（         ）

A.（﹣1，1）    B.（﹣2，2）    C.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）    D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

7. 难度：中等

（5分）（2011•福建）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（         ）

A.    B.    C.    D.

8. 难度：中等

（5分）（2011•福建）已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（         ）

A.﹣3    B.﹣1    C.1    D.3

9. 难度：简单

（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin²α+cos2α=，则tanα的值等于（         ）

A.    B.    C.    D.

10. 难度：中等

（5分）（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x³﹣ax²﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（         ）

A.2    B.3    C.6    D.9

11. 难度：困难

（5分）（2011•福建）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F₁，F₂，若曲线r上存在点P满足|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（         ）

A.    B.或2    C.2    D.

12. 难度：困难

（5分）（2011•福建）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：

①2011∈[1]；

②﹣3∈[3]；

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．

其中，正确结论的个数是（         ）

A.1    B.2    C.3    D.4

二、填空题

13. 难度：简单

（4分）（2011•福建）若向量=（1，1），（﹣1，2），则等于         ．

14. 难度：中等

（4分）（2011•福建）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于         ．

15. 难度：中等

（4分）（2011•福建）如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB₁C，则线段EF的长度等于         ．

16. 难度：困难

（4分）（2011•福建）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．

经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于         ．

三、解答题

17. 难度：困难

（12分）（2011•福建）已知等差数列{a_n}中，a₁=1，a₃=﹣3．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{a_n}的前k项和S_k=﹣35，求k的值．

18. 难度：中等

（12分）（2011•福建）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．

（Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

19. 难度：中等

（12分）（2011•福建）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X	1	2	3	4	5
f	a	0.2	0.45	b	c

（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x₁，x₂，x₃，等级系数为5的2件日用品记为y₁，y₂，现从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

20. 难度：困难

（12分）（2011•福建）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．

（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；

（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

21. 难度：中等

（12分）（2011•福建）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．

（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；

（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．

22. 难度：困难

（14分）（2011•福建）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．

（I）求实数b的值；

（II）求函数f（x）的单调区间；

（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．