2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

（5分）（2011•陕西）设，是向量，命题“若≠﹣，则||=||”的逆命题是（          ）

A.若≠﹣，则||=||”    B.若=﹣，则||≠||   

C.若≠，则||≠||    D.||=||，则≠﹣

2. 难度：中等

（5分）（2011•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（          ）

A.y²=﹣8x    B.y²=8x    C.y²=﹣4x    D.y²=4x

3. 难度：简单

（5分）（2011•陕西）设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（          ）

A.    B.   

C.    D.

4. 难度：简单

（5分）（2011•陕西）函数的图象是（          ）

A.    B.    C.    D.

5. 难度：中等

（5分）（2011•陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（          ）

A.    B.    C.8﹣2π    D.

6. 难度：中等

（5分）（2011•陕西）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（          ）

A.没有根    B.有且仅有一个根    C.有且仅有两个根    D.有无穷多个根

7. 难度：简单

（5分）（2011•陕西）如图框图，当x₁=6，x₂=9，p=8.5时，x₃等于（          ）

A.7    B.8    C.10    D.11

8. 难度：困难

（5分）（2011•陕西）设集合M={y|y=|cos²x﹣sin²x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（          ）

A.（0，1）    B.（0，1]    C.[0，1）    D.[0，1]

9. 难度：简单

（5分）（2011•陕西）设（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）是变量x和y的n次方个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（          ）

A.直线l过点

B.x和y的相关系数为直线l的斜率

C.x和y的相关系数在0到1之间

D.当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

10. 难度：中等

（5分）（2011•陕西）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（          ）

A.（1）和（20）    B.（9）和（10）    C.（9）和（11）    D.（10）和（11）

二、填空题

11. 难度：简单

（5分）（2011•陕西）设f（x）=，则f（f（﹣2））=          ．

12. 难度：中等

（5分）（2011•陕西）如图，点（x，y）在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x﹣y的最小值为          ．

13. 难度：中等

（5分）（2011•陕西）观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律，第五个等式应为          ．

14. 难度：简单

（5分）（2011•陕西）设n∈N₊，一元二次方程x²﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=          ．

15. 难度：中等

（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是          ．

B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=          ．

C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C₁： （θ为参数）和曲线C₂：p=1上，则|AB|的最小值为          ．

三、解答题

16. 难度：中等

（12分）（2011•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．

17. 难度：困难

（12分）（2011•陕西）设椭圆C：过点（0，4），离心率为

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

18. 难度：中等

（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．

19. 难度：困难

（12分）（2011•陕西）如图，从点P₁（0，0）做x轴的垂线交曲线y=e^x于点Q₁（0，1），曲线在Q₁点处的切线与x轴交于点P₂，再从P₂做x轴的垂线交曲线于点Q₂，依次重复上述过程得到一系列点：P₁，Q₁；P₂，Q₂…；P_n，Q_n，记P_k点的坐标为（x_k，0）（k=1，2，…，n）．

（Ⅰ）试求x_k与x_k﹣1的关系（2≤k≤n）；

（Ⅱ）求|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+|P₃Q₃|+…+|P_nQ_n|．

20. 难度：中等

如图，A地到火车站共有两条路径L₁和L₂，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间（分钟）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
选择L1的人数	6	12	18	12	12
选择L2的人数	0	4	16	16	4

（1）试估计40分钟内不能          赶到火车站的概率；

（2）分别求通过路径L₁和L₂所用时间落在上表中各时间段内的频率；

（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径．

21. 难度：压轴

（14分）（2011•陕西）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．

（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；

（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；

（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立．