2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（陕西卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设，是向量，命题“若，则”的逆命题是（  ）

（A）若，则            （B）若，则

（C）若，则            （D）若，则

2. 难度：简单

设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（  ）

（A）    （B）    （C）    （D）

3. 难度：中等

设函数（R）满足，，则函数的图像是

4. 难度：中等

（R）展开式中的常数项是（  ）

（A）    （B）    （C）15    （D）20

5. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（  ）

（A）

（B）

（C）

（D）

6. 难度：困难

函数在内           （  ）

（A）没有零点                           （B）有且仅有一个零点

（C）有且仅有两个零点                   （D）有无穷多个零点

7. 难度：中等

设集合，，为虚数单位，R，则为（  ）

（A）（0，1）  （B），    （C），    （D），

8. 难度：中等

图中，，，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，，时，等于（  ）

（A）11    （B）10    （C）8    （D）7

9. 难度：中等

设，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（  ）

（A）和的相关系数为直线的斜率

（B）和的相关系数在0到1之间

（C）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同

（D）直线过点

10. 难度：中等

甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是  （  ）

（A）      （B）      （C）    （D）

二、填空题

11. 难度：简单

设，若，则       ．

12. 难度：简单

设，一元二次方程有整数根的充要条件是       ．

13. 难度：简单

观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第个等式为                                            .

14. 难度：中等

植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为              （米）．

15. 难度：中等

若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是             ．

16. 难度：简单

如图，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=         ．

17. 难度：简单

直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为                 ．

三、解答题

18. 难度：困难

如图，在△ABC中，∠ABC=，∠BAC，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC．

（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（2）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．

19. 难度：困难

如图，设Ｐ是圆上的动点，点Ｄ是Ｐ在轴上投影，Ｍ为PD上一点，且．

（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．

20. 难度：中等

叙述并证明余弦定理．

21. 难度：困难

如图，从点P₁（0，0）作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点．再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：；；…；，记点的坐标为（）．

（1）试求与的关系（）；

（2）求．

22. 难度：中等

如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：

时间（分钟）	1020	2030	3040	4050	5060
的频率
的频率	0

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .

23. 难度：压轴

设函数定义在上，，导函数，．

（1）求的单调区间和最小值；

（2）讨论与的大小关系；

（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．