2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（广东卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

（2012•广东）设i是虚数单位，则复数=（　　）

A．6+5i       B．6﹣5i       C．﹣6+5i       D．﹣6﹣5i

2. 难度：简单

（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁_UM=（　　）

A．U       B．{1，3，5}       C．{3，5，6}       D．{2，4，6}

3. 难度：简单

（2012•广东）若向量，向量，则=（　　）

A．（﹣2，﹣4）       B．（3，4）       C．（6，10）       D．（﹣6，﹣10）

4. 难度：简单

（2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（　　）

A．y=ln（x+2）       B．       C．       D．

5. 难度：中等

（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）

A．12       B．11       C．3       D．﹣1

6. 难度：简单

（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）

A．12π       B．45π       C．57π       D．81π

7. 难度：简单

（2012•广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（　　）

A．       B．       C．       D．

8. 难度：困难

（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义○=，若平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，则○=（　　）

A．       B．1       C．       D．

二、填空题

9. 难度：简单

（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为　_________　．

10. 难度：中等

（2012•广东）中x³的系数为　_________　．（用数字作答）

11. 难度：简单

（2012•广东）已知递增的等差数列{a_n}满足a₁=1，a₃=a₂²﹣4，则a_n=　_________　．

12. 难度：简单

（2012•广东）曲线y=x³﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为　_________　．

13. 难度：简单

（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为　_________　．

14. 难度：中等

（2012•广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁与C₂的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C₁与C₂的交点坐标为　_________　．

15. 难度：中等

（2012•广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与 O C 的延长线交于点P，则图PA=　_________　．

三、解答题

16. 难度：中等

（2012•广东）已知函数（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．

（1）求ω的值；

（2）设，，，求cos（α+β）的值．

17. 难度：简单

（2012•广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

（1）求图中x的值；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

18. 难度：中等

（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

（1）证明：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

19. 难度：困难

（2012•广东）设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．

（1）求a₁的值；

（2）求数列{a_n}的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有．

20. 难度：中等

（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

21. 难度：简单

（2012•广东）设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．

（1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数f（x）=2x³﹣3（1+a）x²+6ax在D内的极值点．