2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（重庆卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁_U（A∪B）=（　　）

A．{1，3，4}       B．{3，4}       C．{3}       D．{4}

2. 难度：简单

（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x²≥0”的否定为（　　）

A．存在x₀∈R，使得x₀²＜0       B．对任意x∈R，使得x²＜0

C．存在x₀∈R，都有       D．不存在x∈R，使得x²＜0

3. 难度：中等

（2013•重庆）函数的定义域为（　　）

A．（﹣∞，2）                B．（2，+∞）

C．（2，3）∪（3，+∞）       D．（2，4）∪（4，+∞）

4. 难度：中等

（2013•重庆）设P是圆（x﹣3）²+（y+1）²=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）

A．6       B．4       C．3       D．2

5. 难度：中等

（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（　　）

A．3       B．4       C．5       D．6

6. 难度：中等

（2013•重庆）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（　　）

A．0.2       B．0.4       C．0.5       D．0.6

7. 难度：中等

（2013•重庆）关于x的不等式x²﹣2ax﹣8a²＜0（a＞0）的解集为（x₁，x₂），且：x₂﹣x₁=15，则a=（　　）

A．       B．       C．       D．

8. 难度：中等

（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．180       B．200       C．220       D．240

9. 难度：中等

（2013•重庆）已知函数f（x）=ax³+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log₂10））=5，则f（lg（lg2））=（　　）

A．﹣5       B．﹣1       C．3       D．4

10. 难度：中等

（2013•重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A₁B₁和A₂B₂，使|A₁B₁|=|A₂B₂|，其中A₁、B₁和A₂、B₂分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．       B．       C．       D．

二、填空题

11. 难度：中等

（2013•重庆）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=　_________　．

12. 难度：中等

（2013•重庆）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=　_________　．

13. 难度：中等

（2013•重庆）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为　_________　．

14. 难度：中等

（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k=　_________　．

15. 难度：困难

（2013•重庆）设0≤α≤π，不等式8x²﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为　_________　．

三、解答题

16. 难度：困难

如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．

17. 难度：简单

（2013•重庆）设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊．

（1）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；

（2）已知{b_n}是等差数列，T_n为前n项和，且b₁=a₂，b₃=a₁+a₂+a₃，求T₂₀．

18. 难度：困难

从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x_i（单位：千元）与月储蓄y_i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．

（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；

（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．

19. 难度：简单

（2013•重庆）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a²=b²+c²+bc．

（1）求A；

（2）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的最值．

20. 难度：简单

（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，，BC=CD=2，．

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．

21. 难度：中等

（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．

（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．