2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设全集为R, 函数的定义域为M, 则为

(A)(－∞,1)          (B)(1, + ∞)       (C)       (D)

2. 难度：简单

已知向量 , 若a//b, 则实数m等于

(A)        (B)        (C)或        (D)0

3. 难度：简单

设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是

(A)

(B)

(C)

(D)

4. 难度：简单

根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为

(A)25       (B)30       (C)31      (D)61

5. 难度：简单

对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为

(A)0.09      (B)0.20      (C)0.25     (D)0.45

6. 难度：简单

设z是复数, 则下列命题中的假命题是

(A)若, 则z是实数        (B)若, 则z是虚数

(C)若z是虚数, 则        (D)若z是纯虚数, 则

7. 难度：简单

若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为

(A)－6       (B)－2       (C)0      (D)2

8. 难度：中等

已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是

(A)相切       (B)相交      (C)相离       (D)不确定

9. 难度：简单

设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为

(A)直角三角形       (B)锐角三角形        (C)钝角三角形      (D)不确定

10. 难度：简单

设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有

(A)[－x]=－[x]

(B)[x + ]=[x]

(C)[2x]=2[x]

(D)

二、填空题

11. 难度：简单

双曲线的离心率为        .

12. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为        .

13. 难度：中等

观察下列等式:

…

照此规律, 第n个等式可为        .

14. 难度：简单

在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为        (m).

15. 难度：简单

设a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是      .

16. 难度：简单

如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知, PD = 2DA = 2, 则PE =       .

17. 难度：简单

圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标是            .

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量, 设函数.

（1）求f (x)的最小正周期.

（2）求f (x)在上的最大值和最小值.

19. 难度：困难

设S_n表示数列的前n项和.

（1）若为等差数列, 推导S_n的计算公式;

（2）若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列.

20. 难度：困难

如图,四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A₁O⊥平面ABCD, .

（1）证明: A₁BD // 平面CD₁B₁;

（2）求三棱柱ABD－A₁B₁D₁的体积.

21. 难度：中等

有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50

（1）为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50
抽取人数		6

（2）在（1）中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.

22. 难度：中等

已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

（1）求动点M的轨迹C的方程;

（2）过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

23. 难度：困难

已知函数.

（1）求f(x)的反函数的图象上图象上，点(1,0)处的切线方程;

（2）证明: 曲线y = f (x)与曲线有唯一公共点.

（3）设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.