2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合M={1，2，},i为虚数单位，N=｛3，4｝，M∩N=｛4｝，则复数z=  （    ）

A.-2i      B.2i        C.-4i          D.4i

2. 难度：简单

函数的定义域为（    ）

A.(0,1)      B.[0,1)      C.(0,1]          D.[0,1]

3. 难度：简单

等比数列x，3x+3，6x+6，…的的第四项等于 （    ）

A.-24          B.0          C.12          D.24

4. 难度：简单

总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为    （    ）

7816    6572    0802    6314    0702   4369    9728    0198

3204    9234    4934    8200    3623    4869   6938    7481

A.08          B.07          C.02          D.01

5. 难度：简单

展开式中的常数项为（    ）

A．80          B.-80          C.40          D.-40

6. 难度：中等

若 ，则s₁,s₂,s₃的大小关系为（     ）

A.s₁＜s₂＜s_{3      B.}s₂＜s₁＜s_{3        C.}s₂＜s₃＜s_{1    D.}s₃＜s₂＜s₁   

7. 难度：简单

阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为

A.S=2i-2    B.S=2i-1     C.S=2i    D.S=2i+4

8. 难度：中等

如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（    ）

A.8          B.9          C.10        D.11

9. 难度：中等

过点（，0）引直线ι与曲线 交于A,B两点 ，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线ι的斜率等于（   ）

A.      B.-      C.    D-

10. 难度：中等

如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线ι₁，ι₂之间，ι//ι₁，ι与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E,D两点。设弧FG的长为x(0＜x＜π),y=EB+BC+CD，若ι从ι₁平行移动到ι₂，则函数y=f(x)的图像大致是

二、填空题

11. 难度：简单

函数y=sin2x+2sin²x的最小正周期T为_______.

12. 难度：简单

设e₁，e₂为单位向量。且e₁、e₂的夹角为  ，若a=e₁+3e₂，b=2e₁，则向量a在b方向上的射影为________.

13. 难度：简单

设函数f(x)在（0，+∞）内可导，且f(e^x)=x+e^x，则=__________.

14. 难度：中等

抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 -   =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.

15. 难度：简单

在实数范围内，不等式的解集为___________.

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

（1）求角B的大小；

（2）若a+c=1，求b的取值范围.

17. 难度：困难

正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：

（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；

（2）令，数列{b_n}的前n项和为T_n．证明：对于任意n N*，都有T_n＜

18. 难度：困难

小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从，（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X。若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。

（1）求小波参加学校合唱团的概率；

（2）求X的分布列和数学期望.

19. 难度：困难

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F.

（1）求证：AD⊥平面CFG；

（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.

20. 难度：困难

如图，椭圆经过点P（1.），离心率e=，直线l的方程为x=4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

21. 难度：压轴

已知函数a为常数且a＞0.

（1）证明：函数f（x）的图像关于直线x=对称；

（2）若x₀满足f（f（x₀））= x_0，但f（x₀）≠x₀，则x₀称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x₁，x₂，试确定a的取值范围；

（3）对于（2）中的x₁，x₂，和a，设x₃为函数f（f（x））的最大值点，A（x₁，f（f（x₁））），B（x₂，f（f（x₂））），C（x₃，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性.