2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖北卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

（2013•湖北）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（　　）

A．第一象限       B．第二象限       C．第三象限       D．第四象限

2. 难度：简单

（2013•湖北）已知全集为R，集合，则A∩∁_RB=（　　）

A．{x|x≤0}       B．{x|2≤x≤4}       C．{x|0≤x＜2或x＞4}       D．{x|0＜x≤2或x≥4}

3. 难度：中等

（2013•湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）

A．（￢p）∨（￢q）       B．p∨（￢q）       C．（￢p）∧（￢q）       D．p∨q

4. 难度：简单

（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）

A．       B．       C．       D．

5. 难度：困难

（2013•湖北）已知，则双曲线的（　　）

A．实轴长相等       B．虚轴长相等       C．焦距相等       D．离心率相等

6. 难度：中等

（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（　　）

A．       B．       C．       D．

7. 难度：困难

（2013•湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（　　）

A．1+25ln5       B．8+25ln       C．4+25ln5       D．4+50ln2

8. 难度：简单

（2013•湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V₁，V₂，V₃，V₄，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（　　）

A．V₁＜V₂＜V₄＜V₃       B．V₁＜V₃＜V₂＜V₄

C．V₂＜V₁＜V₃＜V₄       D．V₂＜V₃＜V₁＜V₄

9. 难度：简单

（2013•湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（　　）

A．       B．       C．       D．

10. 难度：简单

（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）（　　）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

11. 难度：简单

（2013•湖北）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：

（1）直方图中x的值为　_________　；

（2）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为　_________　．

12. 难度：简单

（2013•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=　_________　．

13. 难度：困难

（2013•湖北）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=　_________　．

14. 难度：中等

（2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数，

正方形数N（n，4）=n²，

五边形数，

六边形数N（n，6）=2n²﹣n，

…

可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=　_________　．

15. 难度：困难

（2013•湖北）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为　_________　．

16. 难度：简单

（2013•湖北）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为　_________　．

三、解答题

17. 难度：中等

（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．

18. 难度：困难

（2013•湖北）已知等比数列{a_n}满足：|a₂﹣a₃|=10，a₁a₂a₃=125．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．

19. 难度：困难

（2013•湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．

（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；

（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．

20. 难度：困难

（2013•湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，50²）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p₀．

（1）求p₀的值；

（参考数据：若X～N（μ，σ²），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）

（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p₀的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

21. 难度：压轴

（2013•湖北）如图，已知椭圆C₁与C₂的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C₁，C₂的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S₁和S₂．

（1）当直线l与y轴重合时，若S₁=λS₂，求λ的值；

（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂？并说明理由．

22. 难度：困难

（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．

（1）求函数f（x）=（1+x）^r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；

（2）证明：；

（3）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．

（参考数据：．