2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（重庆卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁_U（A∪B）=（　　）

A．{1，3，4}       B．{3，4}       C．{3}       D．{4}

2. 难度：简单

（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x²≥0”的否定为（　　）

A．对任意x∈R，都有x²＜0       B．不存在x∈R，都有x²＜0

C．存在x₀∈R，使得x₀²≥0         D．存在x₀∈R，使得x₀²＜0

3. 难度：中等

（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（　　）

A．9       B．       C．3       D．

4. 难度：中等

（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）

A．2，5       B．5，5       C．5，8       D．8，8

5. 难度：中等

（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．       B．       C．200       D．240

6. 难度：简单

（2013•重庆）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（　　）

A．（a，b）和（b，c）内         B．（﹣∞，a）和（a，b）内

C．（b，c）和（c，+∞）内       D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内

7. 难度：中等

（2013•重庆）已知圆C₁：（x﹣2）²+（y﹣3）²=1，圆C₂：（x﹣3）²+（y﹣4）²=9，M，N分别是圆C₁，C₂上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）

A．5﹣4       B．1       C．6﹣2       D．

8. 难度：简单

（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（　　）

A．k≤6       B．k≤7       C．k≤8       D．k≤9

9. 难度：简单

（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（　　）

A．       B．       C．       D．2﹣1

10. 难度：困难

（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（　　）

A．（0，]       B．（，]       C．（，]       D．（，]

二、填空题

11. 难度：简单

（2013•重庆）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=　_________　．

12. 难度：简单

（2013•重庆）已知{a_n}是等差数列，a₁=1，公差d≠0，S_n为其前n项和，若a₁，a₂，a₅成等比数列，则S_{8=　_________}．

13. 难度：中等

（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　_________　（用数字作答）．

14. 难度：简单

（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为　_________　．

15. 难度：简单

（2013•重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=　_________　．

16. 难度：简单

（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是　_________　．

三、解答题

17. 难度：中等

（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）²+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．

（1）确定a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

18. 难度：中等

（2013•重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

奖级	摸出红、蓝球个数	获奖金额
一等奖	3红1蓝	200元
二等奖	3红0蓝	50元
三等奖	2红1蓝	10元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．

（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．

19. 难度：中等

（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．

（1）求PA的长；

（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．

20. 难度：中等

（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a²+b²+ab=c²．

（1）求C；

（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．

21. 难度：困难

（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

22. 难度：困难

（2013•重庆）对正整数n，记I_n={1，2，3…，n}，P_n={|m∈I_n，k∈I_n}．

（1）求集合P₇中元素的个数；

（2）若P_n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P_n能分成两个不相交的稀疏集的并．