2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则            .

2. 难度：简单

已知复数（为虚数单位），则复数的实部是            .

3. 难度：简单

右图是一个算法流程图，则输出的的值是            .

4. 难度：简单

从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为            .

5. 难度：简单

已知函数与函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是            .

6. 难度：中等

某种树木的底部周长的取值范围是，它的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有        株树木的底部周长小于100 cm..

7. 难度：简单

在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是        .

8. 难度：简单

设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是       .

9. 难度：简单

在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为       .

10. 难度：简单

已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为       .

11. 难度：简单

在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则       .

12. 难度：中等

如图在平行四边形中，已知，，则的值是       .

13. 难度：中等

已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是      .

14. 难度：简单

若的内角满足，则的最小值是      .

二、解答题

15. 难度：中等

（满分14分）已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

16. 难度：中等

（满分14分）如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，

求证（1）直线平面；

（2）平面平面.

17. 难度：简单

（满分14分）如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.

（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；

（2）若，求椭圆离心率的值.

18. 难度：中等

（满分16分）如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，经测量，点位于点正北方向60处，点位于点正东方向170处，（为河岸），.

（1）求新桥的长；

（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？

19. 难度：困难

（满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数.

（1）证明：是上的偶函数；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.

20. 难度：压轴

（满分16分）

设数列的前项和为.若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.

（1）若数列的前项和为，证明：是“数列”.

（2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；

（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列” 和，使得成立.

21. 难度：中等

[选修4-1：几何证明选讲]

如图，是圆的直径，是圆上位于异侧的两点，证明

三、填空题

22. 难度：中等

[选修4-2：矩阵与变换]

已知矩阵，向量，是实数，若，求的值.

四、解答题

23. 难度：简单

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.

24. 难度：中等

[选修4-5：不等式选讲]

已知，证明

25. 难度：简单

（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.

（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；

（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为，随机变量表示的最大数，求的概率分布和数学期望.

26. 难度：困难

（10分）已知函数，设为的导数，

（1）求的值；

（2）证明：对任意，等式都成立.