2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若集合A=，B=，则（      ）

A.         B.        C.           D.

2. 难度：简单

下列函数中，定义域是且为增函数的是（    ）

A.          B.          C.          D.

3. 难度：中等

已知向量，，则（    ）

A.            B.            C.           D.

4. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，输出的值为（   ）

A.                B.              C.            D.

5. 难度：简单

设、是实数，则“”是“”的（   ）

A.充分而不必要条件              B.必要而不必要条件

C.充分必要条件                 D.既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）

A.                B.               C.               D.

7. 难度：中等

已知圆和两点，，若圆上存在点，使得

，则的最大值为（     ）

A.         B.          C.            D.

8. 难度：中等

加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率

与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），下图记录了三次实

验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（    ）

A.分钟            B.分钟           C.分钟           D.分钟

二、填空题

9. 难度：简单

若，则        .

10. 难度：中等

设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为           .

11. 难度：中等

在中，，，，则        ；          .

12. 难度：简单

若、满足，则的最小值为          .

13. 难度：中等

顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这

项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都

完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

工序        时间 原料	粗加工	精加工
原料
原料

则最短交货期为           工作日.

三、解答题

14. 难度：简单

已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

15. 难度：中等

函数的部分图象如图所示.

（1）写出的最小正周期及图中、的值；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

16. 难度：中等

如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积.

17. 难度：中等

从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

（2）求频率分布直方图中的a，b的值；

（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）

18. 难度：困难

已知椭圆C：.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.

19. 难度：困难

已知函数.

（1）求在区间上的最大值；

（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；

（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）