2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设命题，则为（   ）

A.           B.

C.           D.

2. 难度：简单

已知集合，则（   ）

A.        B.        C.        D.

3. 难度：中等

对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（   ）

A.          B.

C.          D.

4. 难度：简单

下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ）

A.      B.        C.      D.

5. 难度：简单

在区间上随机选取一个数，则的概率为（    ）

A.         B.        C.         D.

6. 难度：简单

若圆与圆外切，则（   ）

A.21        B.19       C.9        D.-11

7. 难度：简单

执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（   ）

A.      B.     C.       D.

8. 难度：简单

一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（   ）

A.1            B.2            C.3           D.4

9. 难度：简单

若，则（   ）

A.          B.

C.                  D.

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，为原点，，,，动点满足,

则的取值范围是（   ）

A.                 B.

C.             D.

二、填空题

11. 难度：简单

复数（为虚数单位）的实部等于_________.

12. 难度：简单

在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为___________.

13. 难度：简单

若变量满足约束条件，则的最大值为_________.

14. 难度：简单

平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是___________.

15. 难度：简单

若是偶函数，则____________.

三、解答题

16. 难度：困难

已知数列的前项和.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

17. 难度：困难

某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：

其中分别表示甲组研发成功和失败；分别表示乙组研发成功和失败.

(1)若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；

(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.

18. 难度：中等

如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，面，垂足为.

(1)证明：平面；

(2)求异面直线与所成角的余弦值.

19. 难度：中等

如图4，在平面四边形中，

,

(1)求的值；

(2)求的长

20. 难度：困难

如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.

(1)求的方程；

(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有.