2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（辽宁卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知全集，则集合（      ）

A．     B．     C．      D．

2. 难度：简单

设复数z满足，则（     ）

A．      B．     C．      D．

3. 难度：简单

已知，，则（     ）

A．     B．      C．       D．

4. 难度：中等

已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（    ）

A．若则       B．若，，则

C．若，，则    D．若，，则

5. 难度：简单

设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（     ）

A．     B．       C．      D．

6. 难度：简单

若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（    ）

A．      B．      C．     D．

7. 难度：简单

某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．      B．      C．      D．

8. 难度：简单

已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（     ）

A．    B．       C．    D．

9. 难度：简单

设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（   ）

A．    B．   C．    D．

10. 难度：简单

已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ）

A．        B．

C．         D．

11. 难度：简单

将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ）

A．在区间上单调递减 

B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减 

D．在区间上单调递增

12. 难度：简单

当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（     ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

13. 难度：简单

执行右侧的程序框图，若输入，则输出          .

14. 难度：简单

已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为          .

15. 难度：简单

已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则          .

16. 难度：简单

对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为          .

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：

（1）a和c的值；

（2）的值.

18. 难度：中等

某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

19. 难度：中等

如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.

（1）求证：平面BCG；

（2）求三棱锥D-BCG的体积.

附：椎体的体积公式，其中S为底面面积，h为高.

20. 难度：压轴

圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.

（1）求点P的坐标；

（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.

21. 难度：困难

已知函数，.

证明：（1）存在唯一，使；

（2）存在唯一，使，且对（1）中的.

22. 难度：中等

如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

（1）求证：AB为圆的直径；

（2）若AC=BD，求证：AB=ED.

23. 难度：困难

将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

（1）写出C的参数方程；

（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.

24. 难度：困难

设函数，，记的解集为M，的解集为N.

（1）求M；

（2）当时，证明：.