2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

函数的最小正周期是　　　　　.

2. 难度：简单

若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.

3. 难度：困难

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.

4. 难度：简单

设若，则的取值范围为_____________.

5. 难度：简单

若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.

6. 难度：简单

若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为     （结果用反三角函数值表示）.

7. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是       .

8. 难度：简单

设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q=       .

9. 难度：简单

若，则满足的取值范围是      .

10. 难度：中等

为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是        （结构用最简分数表示）.

11. 难度：简单

已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则=       .

12. 难度：简单

设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则        .

13. 难度：中等

某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为          .

14. 难度：简单

已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为         .

二、选择题

15. 难度：简单

设,则“”是“”的（   ）

（A）充分条件       （B）必要条件    

（C）充分必要条件     （D）既非充分又非必要条件

16. 难度：简单

如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（    ）

（A）1    (B)2    (C)4        (D)8

17. 难度：中等

已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（    ）

（A）无论k，如何，总是无解          （B)无论k，如何，总有唯一解

（C）存在k，，使之恰有两解         （D）存在k，，使之有无穷多解

18. 难度：简单

若是的最小值，则的取值范围为（    ）.

(A)[-1,2]     (B)[-1，0]      (C)[1，2]      (D)

三、解答题

19. 难度：中等

（本题满分12分）

底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.

20. 难度：中等

（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.

设常数，函数

（1）若=4，求函数的反函数；

（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.

21. 难度：困难

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.

（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？

22. 难度：困难

（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.

⑴ 求证：点被直线分隔；

⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；

⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.

23. 难度：困难

（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

已知数列满足.

（1）若，求的取值范围；

（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；

（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.