2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（   ）

A.- 5         B.5             C.- 4+ i          D.- 4 - i

2. 难度：中等

设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = (   )

A.1        B.2        C.3          D.5

3. 难度：简单

钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=(   )

A.5         B.         C.2            D.1

4. 难度：中等

某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（    ）

A.0.8      B.0.75      C.0.6       D.0.45

5. 难度：中等

如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（    ）

A.      B.      C.      D.

6. 难度：中等

执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （    ）

A.4       B.5      C.6       D.7

7. 难度：困难

设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （    ）

A.0       B.1      C.2       D.3

8. 难度：困难

设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则

△OAB的面积为（   ）

A.       B.     C.      D.

9. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M，N分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，BC=CA=CC₁，

则BM与AN所成的角的余弦值为（   ）

A.           B.            C.          D.

10. 难度：中等

设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（   ）

A.         B.

C.         D.

二、填空题

11. 难度：困难

的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)

12. 难度：中等

函数的最大值为_________.

13. 难度：简单

已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.

14. 难度：简单

设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.

三、解答题

15. 难度：困难

已知数列满足=1，.

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）证明：.

16. 难度：困难

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（1）证明：PB∥平面AEC；

（2）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.

17. 难度：中等

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，

18. 难度：压轴

设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.

19. 难度：困难

已知函数=.

（1）讨论的单调性；

（2）设，当时，,求的最大值；

（3）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）

20. 难度：困难

如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E。

证明：（1）BE=EC；

（2）ADDE=2

21. 难度：困难

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，

.

（1）求C的参数方程；

（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

22. 难度：困难

设函数=

（1）证明：2；

（2）若，求的取值范围.