2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，则（     ）

A.           B．           C．           D．

2. 难度：简单

下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）

A．       B．       C．         D．

3. 难度：中等

曲线，（为参数）的对称中心（     ）

A．在直线上               B．在直线上 

C．在直线上            D．在直线上

4. 难度：中等

当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（   ）

A．7            B．42              C．210            D．840

5. 难度：中等

设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（   ）

A．充分而不必要条件                B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                    D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

若、满足，且的最小值为，则的值为（    ）

A．2            B．                C．                  D．

7. 难度：困难

在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（    ）

A．                   B．且  

C．且              D．且

8. 难度：中等

学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（    ）

A．2人           B．3人            C．4人            D．5人

二、填空题

9. 难度：中等

复数          .

10. 难度：中等

已知向量、满足，，且（），则          .

11. 难度：简单

设双曲线经过点（2,2），且与具有相同渐近线，则的方程为          ；渐近线方程为          .

12. 难度：中等

若等差数列满足，则当      时，的前项和最大.

13. 难度：中等

把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有             种.

14. 难度：中等

设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为         .

三、解答题

15. 难度：中等

如图，在中，，点在边上，且，.

（1）求；

（2）求，的长.

16. 难度：中等

李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：

场次	投篮次数	命中次数	场次	投篮次数	命中次数
主场1	22	12	客场1	18	8
主场2	15	12	客场2	13	12
主场3	12	8	客场3	21	7
主场4	23	8	客场4	18	15
主场5	24	20	客场5	25	12

（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；

（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；

（3）记为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）

17. 难度：困难

如图，正方体的边长为2，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，.

（1）求证：；

（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.

18. 难度：困难

已知函数.

（1）求证：；

（2）若对恒成立，求的最大值与的最小值.

19. 难度：困难

已知椭圆：.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

20. 难度：中等

对于数对序列，记，，其中表示和两个数中最大的数.

（1）对于数对序列，求的值；

（2）记为，，，四个数中最小的数，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和两种情况比较和的大小；

（3）在由五个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.(只需写出结论).