2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，集合为整数集，则（    ）

A．    B．   C．   D．

2. 难度：简单

在的展开式中，含项的系数为（   ）

A．  B．   C．   D．

3. 难度：简单

为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ）

A．向左平行移动个单位长度   B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度    D．向右平行移动个单位长度

4. 难度：简单

若，，则一定有（   ）

A．            B．            C．          D．

5. 难度：简单

执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（   ）

A．              B．            C．              D．

6. 难度：简单

六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，学科网最右端不能排甲，则不同的排法共有（  ）

A．种   B．种   C．种   D．种

7. 难度：中等

平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（   ）

A．   B．    C．    D．

8. 难度：中等

如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（     ）

A．    B．    C．   D．

9. 难度：中等

已知，.现有下列命题：

①；②；③.其中的所有正确命题的序号是（    ）

A．①②③       B．②③          C．①③       D．①②

10. 难度：中等

已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（    ）

A．             B．            C．         D．

二、填空题

11. 难度：简单

复数       .

12. 难度：简单

设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则       .

13. 难度：简单

如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于       .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）

14. 难度：中等

设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是       .

15. 难度：困难

以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，，.现有如下命题：

①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；

②学科网函数的充要条件是有最大值和最小值；

③若函数，的定义域相同，且，，则；

④若函数（，）有最大值，则.

其中的真命题有       .（写出所有真命题的序号）

三、解答题

16. 难度：简单

已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）若是第二象限角，，求的值.

17. 难度：中等

一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.学科网设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.

（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

18. 难度：中等

三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且.

（1）证明：为线段的中点；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.

（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；

（2）若，学科网函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前 项和.

20. 难度：简单

已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

（ii）当最小时，求点T的坐标.

21. 难度：困难

已知函数，其中，为自然对数的底数.

（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围