2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

是虚数单位，复数

（A）     （B）       （C）     （D）

2. 难度：中等

设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为

（A）2         （B）3       （C）4        （D）5

3. 难度：简单

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为

（A）15       （B）105        （C）245      （D）945

4. 难度：中等

函数的单调递增区间是

（A）   （B）    （C）   （D）

5. 难度：困难

已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为

（A）       （B）

（C）      （D）

6. 难度：困难

如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点．在上述条件下，给出下列四个结论：

则所有正确结论的序号是

（A）①②        （B）③④        （C）①②③        （D）①②④

7. 难度：简单

设，则|“”是“”的

（A）充要不必要条件          （B）必要不充分条件

（C）充要条件                （D）既不充要又不必要条件

8. 难度：中等

已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则

（A）      （B）      （C）       （D）

二、填空题

9. 难度：中等

某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．

10. 难度：中等

已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______．

11. 难度：中等

设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为__________．

12. 难度：中等

在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．

13. 难度：困难

在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点．若是等边三角形，则的值为___________．

14. 难度：简单

已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．

三、解答题

15. 难度：困难

已知函数，．

（1）求的最小正周期；

（2）求在闭区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．

（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

17. 难度：困难

如图，在四棱锥中，，，，，点为棱的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．

18. 难度：困难

设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为．已知．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率．

19. 难度：困难

已知和均为给定的大于1的自然数．设集合，集合．

（1）当，时，用列举法表示集合；

（2）设，，，其中证明：若，则．

20. 难度：困难

已知函数．已知函数有两个零点，且．

（1）求的取值范围；

（2）证明随着的减小而增大；

（3）证明随着的减小而增大．