2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（   ）

A.        B.        C.        D.

2. 难度：简单

设集合，则（   ）

A.        B.     C.          D.

3. 难度：简单

函数的定义域为（   ）

A.               B.

C.       D.

4. 难度：简单

用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（    ）

A.方程没有实根

B.方程至多有一个实根

C.方程至多有两个实根

D.方程恰好有两个实根

5. 难度：简单

已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（    ）

A.    B.

C.       D.

6. 难度：简单

直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（    ）

A.    B.    C.      D.4

7. 难度：简单

为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（     ）

A.6     B.8     C.12     D.18

8. 难度：简单

已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

9. 难度：中等

已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（    ）

A.5    B.4     C.     D.2

10. 难度：中等

已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（    ）

A.   B.   C.   D.

二、填空题

11. 难度：简单

执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为________.

12. 难度：简单

在中，已知，当时，的面积为________.

13. 难度：简单

三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则________.

14. 难度：简单

若的展开式中项的系数为20，则的最小值      .

15. 难度：中等

已知函数，对函数,定义关于的对称函数为函数，满足：对于任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是_________.

三、解答题

16. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知向量，，设函数，且的图象过点和点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.

18. 难度：困难

（本小题满分12分）

乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，

甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：

（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.

19. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前项和.

20. 难度：简单

（本小题满分13分）

设函数（为常数，是自然对数的底数）.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.

21. 难度：压轴

（本小题满分14分）

已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，

（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.