2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，则（   ）

A．        B．      C.．          D．

2. 难度：简单

（   ）

A.      B.         C.         D.

3. 难度：中等

设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．是偶函数              B． 是奇函数     

C.．  是奇函数          D．是奇函数

4. 难度：中等

已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（   ）

A.         B. 3        C.         D.

5. 难度：中等

4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（    ）

A．   B．    C．     D．

6. 难度：简单

如图，图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数，则的图像大致为（    ）

7. 难度：简单

执行右面的程序框图，若输入的分别为1，2，3，则输出的M=（   ）

A.   B.    C.     D.

8. 难度：简单

设且则（    ）

（A）   （B）  （C）  （D）

9. 难度：简单

不等式组的解集为D,有下面四个命题：

，   ，

     ，

其中的真命题是（    ）

A．    B．     C．   D．

10. 难度：简单

已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（      ）

A.        B.       C.        D. 

11. 难度：简单

已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是

A．       B．       C．      D．

12. 难度：简单

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（   ）

（A）          （B）            （C）           （D）

二、填空题

13. 难度：简单

的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）

14. 难度：简单

甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，

   甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；

   乙说：我没去过城市.

   丙说：我们三个去过同一城市.

   由此可判断乙去过的城市为__________

15. 难度：简单

已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．

16. 难度：简单

已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，，，，其中为常数，

（I）证明：；

（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.

18. 难度：中等

（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

（i）利用该正态分布，求；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.

附：

若则，。

19. 难度：中等

(本小题满分12分)

如图，三棱柱中，侧面为菱形，.

（Ⅰ）证明：;

（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

(本小题满分12分）

已知点A,椭圆E:的离心率为；F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点

（I）求E的方程；

（II）设过点A的动直线与E 相交于P,Q两点。当的面积最大时，求的直线方程.

21. 难度：中等

（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为

（I）求

（II）证明：

22. 难度：简单

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.

23. 难度：中等

（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程

已知曲线，直线：（为参数）.

（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．

24. 难度：中等

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

若，且.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.