2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

为虚数单位，则（   ）

A.           B.             C.             D.

2. 难度：中等

若二项式的展开式中的系数是84，则实数（   ）

A.2             B.           C.1             D.

3. 难度：简单

设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（   ）

A.充分而不必要条件               B.必要而不充分条件

C.充要条件                       D.既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

根据如下样本数据

	3	4	5	6	7	8
	4.0	2.5		0.5

得到的回归方程为，则（    ）

A. ,      B. ,     C. ,     D. ,

5. 难度：困难

在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（    ）

A.①和②         B.③和①       C.④和③          D.④和②

6. 难度：困难

若函数、满足，则称、在区间上的一组正交函数，给出三组函数：①；②；③.

其中为区间的正交函数的组数是（    ）

A.0                B.1                C.2                D.3

7. 难度：困难

由不等式组确定的平面区域记为，不等式组，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（    ）

A.                B.              C.                    D.

8. 难度：中等

《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（     ）

A.            B.              C.             D.

9. 难度：困难

已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（    ）

A.             B.             C.3               D.2

10. 难度：中等

已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（     ）

A.          B.       C.       D. 

二、填空题

11. 难度：中等

设向量，，若，则实数           .

12. 难度：中等

直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则           .

13. 难度：中等

设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果           .

三、解答题

14. 难度：简单

设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点，的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.

当时，为的几何平均数；

当时，为的调和平均数；

（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

四、填空题

15. 难度：简单

如图，为⊙的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交⊙于两点，若则           .

16. 难度：中等

已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为           .

五、解答题

17. 难度：困难

某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；

.

（1）求实验室这一天的最大温差；

（2）若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？

18. 难度：困难

已知等差数列满足：，且、、成等比数列.

（1）求数列的通项公式.

（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.

19. 难度：困难

如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.

当时，证明：直线平面；

是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

20. 难度：中等

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:

年入流量
发电量最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

21. 难度：压轴

在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.

（1）求轨迹为的方程；

（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.

22. 难度：困难

为圆周率，为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；

（3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.