2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

满足（是虚数单位）的复数（   ）

A.        B.        C.        D.

2. 难度：简单

对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（   ）

A.           B.     C.          D.

3. 难度：中等

已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则

A.        B.        C.1        D.3

4. 难度：中等

的展开式中的系数是（    ）

A.     B.     C.5        D.20

5. 难度：中等

已知命题在命题

①中，真命题是（    ）

A.①③     B.①④     C.②③       D.②④

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（    ）

A.     B.      C.     D.

7. 难度：困难

一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（    ）

A.1       B.2     C.3         D.4

8. 难度：中等

某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(    )

A.             B.

C.              D.

9. 难度：中等

已知函数且则函数的图象的一条对称轴是(      )

A.        B.        C.         D.

10. 难度：中等

已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（     ）

A.      B.     C.     D.

二、填空题

11. 难度：简单

在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.

12. 难度：中等

如图，已知，是的两条弦，，，，则的半径等于________.

13. 难度：中等

若关于的不等式的解集为，则________.

14. 难度：中等

若变量满足约束条件，且的最小值为，则

15. 难度：困难

如图，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则.

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1，则的最大值是_________.

三、解答题

17. 难度：中等

某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;

(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.

18. 难度：困难

如图,在平面四边形中,.

(1)求的值;

(2)若,,求的长.

19. 难度：困难

如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.

(1)证明:底面;

(2)若,求二面角的余弦值.

20. 难度：困难

已知数列满足,.

(1)若为递增数列,且成等差数列,求的值;

(2)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.

21. 难度：压轴

如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.

(1)求的方程;

(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.

22. 难度：困难

已知常数,函数.

(1)讨论在区间上的单调性;

(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.